Enunciado

Determine se a série é convergente ou divergente expressando s n como uma soma telescópica. Se for convergente, encontre a sua soma.

∑ n = 2 ∞ 1 n 3 - n

Passo 1

Essa não é uma série geométrica, então vamos computar aqui as somas parciais dessa série:

s n = ∑ n = 2 ∞ 1 n 3 - n = ∑ n = 2 ∞ 1 n 1 n 2 - 1 = ∑ n = 2 ∞ 1 n - 1 n ( n + 1 )

s n = 1 2 ∑ n = 2 ∞ 2 n - 1 n ( n + 1 ) = 1 2 ∑ n = 2 ∞ n + 1 - ( n - 1 ) n - 1 n ( n + 1 ) = 1 2 ∑ n = 2 ∞ n + 1 n - 1 n ( n + 1 ) - n - 1 n - 1 n ( n + 1 )

s n = 1 2 ∑ n = 2 ∞ 1 n - 1 n - 1 n ( n + 1 )

Expandindo o somatório, temos:

s n = 1 2 1 1 ⋅ 2 - 1 2 ⋅ 3 + 1 2 1 2 ⋅ 3 - 1 3 ⋅ 4 + 1 2 1 3 ⋅ 4 - 1 4 ⋅ 5 + … + 1 2 1 n - 1 n - 1 n n + 1

Simplificando os elementos opostos, temos:

s n = 1 2 ∑ n = 2 ∞ 1 n - 1 n - 1 n ( n + 1 ) = 1 2 1 1 ⋅ 2 - 1 n n + 1

Passo 2

Agora que escrevemos o somatório de outro modo, podemos verificar se a série é convergente ou divergente. A teoria de convergência de séries nos diz que se uma série da forma ∑ n = 1 ∞ a n é convergente, o seguinte limite existe e é igual a zero:

lim n → ∞ ⁡ a n = 0

Caso esse limite não exista ou seja diferente de zero, a nossa querida série será divergente! Vamos calcular esse limite:

lim n → ∞ ⁡ s n = lim n → ∞ ⁡ 1 2 1 1 ⋅ 2 - 1 n n + 1

Aplicando o limite, temos:

l i m n → ∞ 1 2 1 1 ⋅ 2 - 1 n n + 1 = 1 2 1 2 - 0 = 1 4 ≠ 0

Como o resultado do limite foi diferente de zero, pelo teste da divergência a série é divergente!

Resposta

A série é divergente!

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