Enunciado

Dados x e d x = ∆ x , calcule d y   e   ∆ y . Depois, mostre em um diagrama a reta tangente.

x = 0 ;   d x = - 0,3

y = x - x ³

Passo 1

Fala aí pessoal, partiu resolver mais um problema de cálculo!

O enunciado pediu pra gente encontrar a diferencial d y e a variação Δ y , dados x e d x = Δ x .

Para calcular ∆ y ,   vamos precisar usar a fórmula:

∆ y = f x + ∆ x - f x

Depois, vamos substituir f x = x - x 3 , para x = 0 e d x = - 0,3 de modo que a gente consiga obter o valor de Δ y .

Além disso, vamos calcular o valor da diferencial, usando a definição:

d y = f ' x ∙ d x

Onde f ' ( x ) é a derivada da função y = x - x 3 .

Vamos lá!

Passo 2

Sabemos que para calcular ∆ y ,   vamos ter que usar:

∆ y = f x + ∆ x - f x

Mas d x = ∆ x e temos d x = - 0,3 e x = 0 . Então, vamos ficar com:

∆ y = f 0 + - 0,3 - f 0

∆ y = f - 0,3 - f 0

Só que f - 0,3 = - 0,3 - 0,3 3 e f 0 = 0 . Logo, teremos:

∆ y = - 0,3 - - 0,3 3 - 0

Resolvendo:

∆ y = - 0 , 2 7 3

Passo 3

Agora, para achar d y , vamos usar:

d y = f ' x ∙ d x

Calculando a derivada de y = x - x 3 , temos f ' x = 1 - 3 x 2 . Então, substituindo na expressão, vamos ter:

d y = 1 - 3 x 2 ∙ d x

Em x = 0 , essa derivada nos fornece f ' 0 = 1 . Além disso, temos d x = - 0,3 . Logo, teremos:

d y = 1 ∙ ( - 0,3 )

d y = - 0,3

Agora representando a reta tangente no ponto x = 0 , junto coma nossa função y = x - x 3 , temos:

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

∆ y = - 0,273

d y = - 0,3

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Esboce o gráfico de uma função g que é continua no domínio - 2,2 e onde f ' ( 0 ) = - 2 , lim x → 2 - ⁡ g x = ∞ ,f é contínua para todos os números no domínio, exceto ± 1 , e f é impar.
Gráfico da função f x = sin ⁡ x - 1 10 0 0 sin ⁡ ( 1000 x ) no retângulo de visualização [ - 2 π , 2 π ] ´pr [ - 4,4 ] . Qual a inclinação o gráfico parece ter na origem?
Seja l a reta tangente à parábola y = x 2 no ponto ( 1,1 ) . O ângulo de inclinação de l é o ϕ ângulo que é positiva entre l e o eixo x . Calcule ϕ corrigindo até o grau mais próximo.
33-36 Encontre uma equação da reta tangente á curva no ponto dado. 33 .y = 2 x 3 - x 2 + 2 , ( 1 ,3 )