Enunciado

Defina bola aberta de centro em ( x 0 , , y 0 , z 0 ) e raio r > 0   no R 3 . Interprete geometricamente

Passo 1

Já que vamos fazer a definição para R 3 , vamos no basear na definição feita para o R 2 .

Lá diz que a definição de uma bola aberta de centro em ( x 0 , , y 0 ) e raio r > 0 , ou seja  

B x 0 , y 0 ; r = u ∈   R 2     u -   ( x 0 , , y 0 )   < r

E, pela interpretação analítica, o que caracteriza a bola aberta é que a distância entre o ponto dado e centro seja menor que o raio.

Sendo assim, vamos definir nossa bola como sendo

B z ; r = { u ∈ R 3 |     u - v < r }

Onde z =   ( x 0 , , y 0 , z 0 ) e u = x , y , z .  

Passo 2

Vamos entender o que o conjunto nos diz geometricamente, tá? Para isso, vamos reescrevê-lo usando a definição de distância em R 3 .

Ou seja,

B z ; r = u ∈ R 3   x - x 1 + y - y 1 + z - z 1 < r   }

Considerando u = x , y , z um ponto na bola aberta, u satisfaz

x - x 1 + y - y 1 + z - z 1 < r

Elevando ao quadrado,

x - x 1 + y - y 1 + z - z 1 < r 2

Que se a gente reparar direitinho é a equação de uma esfera transladada, só muda que não bate a igualdade, o que significa dizer que estamos considerando apenas a parte de dentro da esfera. Em outras palavras, temos uma esfera maciça sem a casca.

Passo 3

Vamos entender a interpretação geométrica, beleza?

Se x 0 = y 0 = z 0 = 1 a equação lá de cima poderia ser desenhada assim

Mas nós só consideraríamos a parte de dentro da esfera, não a casca. Belezau?

Resposta

Podemos definir como o conjunto B z ; r = { u ∈ R 3 |     u - v < r }

Onde z =   ( x 0 , , y 0 , z 0 ) e u = x , y , z . E interpretar geometricamente como uma esfera maciça sem a casca.

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