Enunciado

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Expresse a quantidade dada como um único logaritmo.

Passo 1

Bom, temos três propriedades dos logaritmos:

  1. ln ⁡ a 2 = ln ⁡ 2 a
  2. ln ⁡ a b = ln ⁡ a + ln ⁡ b
  3. ln ⁡ a b = ln ⁡ a - ln ⁡ b

É com elas que vamos trabalhar para fazer as manipulações que precisamos.

Passo 2

Temos

ln ⁡ 1 + x 2 + 1 2 ln ⁡ x - ln ⁡ s e n x =

(propriedade 1)

ln ⁡ 1 + x 2 + ln ⁡ x 1 2 - ln ⁡ s e n x =

(propriedade 2)

ln ⁡ 1 + x 2 x - ln ⁡ s e n x =

(propriedade 3)

ln ⁡ 1 + x 2 x s e n   x

Resposta

ln ⁡ 1 + x 2 + 1 2 ln ⁡ x - ln ⁡ s e n   x = ln ⁡ 1 + x 2 x s e n   x

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