Enunciado

Para demonstrar que s e n o é contínuo, precisamos mostrar que lim x → a ⁡ s e n   x = s e n   a para todo número real a . Pelo exercício 63 , uma afirmação verdadeira é que

lim h → 0 ⁡ s e n   ( a + h ) = s e n   a

Use ( 6 ) para mostrar que isso é verdadeiro.

Passo 1

Olá, meu amigo. Vamos resolver essa atividade?

A questão fala sobre a continuidade da função sin ⁡ x , e para isso ela cita o exercício 63 , onde devemos demonstrar que:

f é continua em a , se e somente se,

lim h → 0 ⁡ f ( a + h ) = f ( a )

Agora o que a gente vai fazer, é utilizar dessa condição e de ( 6 ) que são as equações:

lim θ → 0 ⁡ cos ⁡ θ = 1

lim θ → 0 ⁡ sin ⁡ θ = 0

Para nos ajudar a resolver esse exercício iremos utilizar a seguinte identidade trigonométrica:

s e n   a + b = s e n a cos ⁡ ( b ) + s e n b cos ⁡ ( a )

Ela irá nos ajudar a utilizar a condição que vimos para provarmos o que precisamos.

Passo 2

Sabemos então que f é continua apenas se e somente se

lim h → 0 ⁡ f ( a + h ) = f ( a )

Então, iremos mostrar que:

lim h → 0 ⁡ s e n   ( a + h ) = s e n   a

Reescrevendo utilizando a propriedade do passo 1:

s e n   a + b = s e n a cos ⁡ ( b ) + s e n b cos ⁡ ( a )

lim h → 0 ⁡ s e n   ( a + h ) = lim h → 0 ⁡ sin ⁡ a cos ⁡ h + cos ⁡ a sin ⁡ h

Podemos aplicar o limite em cada soma:

lim h → 0 ⁡ s e n   ( a + h ) = lim h → 0 ⁡ sin ⁡ a cos ⁡ h + lim h → 0 ⁡ ( cos ⁡ a sin ⁡ h )

Como sin ⁡ a e cos ⁡ a são constantes, podemos retirar do limite:

lim h → 0 ⁡ s e n   ( a + h ) = sin ⁡ a lim h → 0 ⁡ cos ⁡ h + cos ⁡ a lim h → 0 ⁡ ( sin ⁡ h )

agora calculando o limite:

lim h → 0 ⁡ s e n   a + h = sin ⁡ a ∙ cos ⁡ 0 + cos ⁡ a ∙ sin ⁡ 0

lim h → 0 ⁡ s e n   a + h = sin ⁡ a

Realizamos então a nossa prova.

Resposta

Como queremos provar utilizando a relação trigonométrica e a definição ( 6 ) , temos que lim x → a ⁡ s e n   x = s e n   a

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Prove que se f é contínua em x = a e g é descontínua em x = a , então f+g é descontínua em x = a .
Suponha que a taxa postal de uma carta seja calculada da seguinte forma: $ 0,22 por qualquer peso até os 30 primeiros gramas e então $ 0,17 a cada 30 gramas, ou fração adicional, até 330 gramas adicio
Seja f a função definida por f x = x - xs exf o rp a r x - x + 1s exf o rí m p a r ⟦ ⟧ ⟦ ⟧ ⟦ ⟧ ⟦ ⟧ í Faça um esboço do gráfico de f ( x ) . Em quais números f ( x ) é descontínua?
A função C x está definida por C x = 0.8 xs e0x ≤ 50 0.7 xs e50x ≤ 200 0.65 xs ex200 Letra a): fazer um esboço do gráficoLetra b): Em quais números a função C ( x ) é descontínua?Letra c): Mostrar par
Determine o maior intervalo em que a função composta dada é contínua: f o g x = x 2 - 16