Enunciado

Suponha que a taxa postal de uma carta seja calculada da seguinte forma: $ 0,22 por qualquer peso até os 30 primeiros gramas e então $ 0,17 a cada 30 gramas, ou fração adicional, até 330 gramas adicionais. Se x   g r a m a s for o peso da carta e 0 < x ≤ 360 , expresse a taxa postal como função de x.

Letra a): Faça um esboço do gráfico dessa função.

Letra b): Em quais números do intervalo aberto ( 0,360 ) a função é descontínua?

Letra c): Mostre por que a definição 2.6.1 não é satisfeita em cada descontinuidade da parte b)

Passo 1

Antes de resolver os ites, a questão nos pede para expressar o custo da postagem como função do peso da carta.

Para isso, temos que entender que a postagem tem um preço fixo de $ 0,22 até os 30 primeiros gramas e um custo adicional pra cada intervalo de 30 gramas que venha depois. Ou seja, se uma carta tiver de 31 até 60 gramas, paga os primeiros $ 0,22 e mais $ 0,17 por ter passado de 30, ok?

Passo 2

Assim, nossa função c ( x ) vai ser dada por c x = 0,22   s e   0 < x ≤ 30 0,39   s e   30 < x ≤ 60 … até termos x = 360 com um custo de 0,22 + 11 x 0,17 = 2,09 . Mas de onde saiu esse 11? Como acho isso?

Então, 12 é o quociente da divisão de 360 por 30, então eu subtraio 1 pois queremos descobrir quantas vezes temos 30 gramas extras, que seriam 1 vez como os primeiros 30 e 11 com os extras.

Matematicamente, temos essa função:

c x = 0,22 + x 30 - 1 0,17   s e   x ∈ ( 0,360 ]

Onde a notação x representa o MENOR inteiro MAIOR ou igual a x.

E a parte “ x 30 ” vem para extrairmos o quociente dessa divisão, que nem fizemos ali em cima!

Passo 3

Letra a):

O esboço desse gráfico é uma função escada, que conseguimos definindo a função por partes como no início do passo 2!

Passo 4

Letra b):

Usando o gráfico feito no passo anterior, vemos que os pontos de descontinuidade são exatamente os múltiplos de 30 entre 0 e 360.

Assim, temos as descontinuidades em { 30,60,90,120,150,180,210,240,270,300,330 }

Passo 5

Letra c):

A definição 2.6.1 diz que a função é contínua num ponto x = a sempre que existe l i m x → a f ( x ) e esse limite vale f ( a ) . Mas, pelo gráfico, os limites laterais nesses pontos são distintos, ou seja, não existe limite!

Resposta

c x = 0,22 + x 30 - 1 0,17   s e   x ∈ ( 0,360 ]

Letra a):

Letra b): { 30,60,90,120,150,180,210,240,270,300,330 }

Letra c): Não satisfazem pois os limites laterais são diferentes.

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Localize as descontinuidades da função e ilustre com um gráfico. y = l n ⁡ ( t g 2 x )
Explique, usando os teoremas 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo número em seu domínio. Diga o domínio. G t = ln ⁡ ( t 4 - 1 )
Mostre que f é contínua em ( - ∞ ,∞ ) . f x = s e nx , xπ / 4 cos ⁡ x , x ≥ π / 4
Use a continuidade para calcular o limite. lim x → π ⁡ s e n( s e nx + x )
Use a continuidade para calcular o limite. lim x → 4 ⁡ 5 + x 5 + x