Enunciado

Seja f a função definida por f x = x - x       s e   x   f o r   p a r x - x + 1   s e   x   f o r   í m p a r

Faça um esboço do gráfico de f ( x ) . Em quais números f ( x ) é descontínua?

Passo 1

Galera, antes de começar a questão vou fazer uma ressalva: A notação x em geral não tem um significado universal, mas o livro considera que é a função ‘piso’. Ou seja, quando fazemos x = 0,5   o u   x = 2,3   o u   x = 3 , pegamos apenas a parte inteira de cada número positivo, obtendo: 0,5 = 0 ,   2,3 = 2   e   3 = 3 . Porém, quando pegamos números negativos, como x = - 0,5     o u   x = - 2,3   o u   x = - 3 , se o número for quebrado, pegamos a parte inteira e subtraímos 1, se o número for inteiro, apenas pega a própria parte inteira, obtendo-se - 0,5 = - 1 ,   - 2,3 = - 3   e   - 3 = - 3 .

Assim, vamos fazer um esboço desse gráfico fazendo uma tabela, marcando uns pontos e vendo mais ou menos como eles se comportam num plano cartesiano.

Passo 2

Vou usar alguns números inteiros e outros fracionários pré determinados para montar um gráfico. Os valores serão

x = - 2 ;   x = - 1,5 ;   x = - 1 ;   x = - 0,5   ;   x = 0   ;   x = 0,5   ; x = 1   ;   x = 1,5   ; x = 2

Assim, para calcular a f desses valores, precisamos calcular antes x , pois a nossa função depende desse número ser par ou ímpar.

- 2 = - 2   que é par, então f - 2 = - 2 - - 2 = 0

- 1,5 = - 2 que é par, então f - 1,5 = - 1,5 - - 2 = 0,5

- 1 = - 1 que é ímpar, então f - 1 = - 1 - - 1 + 1 = 1

- 0,5 = - 1 que é ímpar, então f - 0,5 = - 0,5 - - 1 + 1 = 0,5

0 = 0 que é par, então f 0 = 0 - 0 = 0

0,5 = 0 que é par, então f 0,5 = 0,5 - 0 = 0,5

1 = 1 que é ímpar, então f 1 = 1 - 1 + 1 = 1

1,5 = 1 que é ímpar, então f 1,5 = 1,5 - 1 + 1 = 0,5

2 = 2 que é par, então f 2 = 2 - 2 = 0

No plano, temos então:

Passo 3

E reparamos que há uma tendência de ir sempre de 0 a 1 e de 1 a 0, seguindo uma espécie de “onda”. Logo, montamos o seguinte gráfico:

Passo 4

Por fim, observando o gráfico, vemos que essa função não é descontínua em nenhum ponto.

Resposta

Não é descontínua em nenhum ponto.

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Encontre os pontos nos quais f é descontínua. Em quais desses pontos f é contínua à direita, à esquerda ou nenhum deles? Esboce o gráfico de f . f x = 1 + x 2 , x ≤ 0 2 - x , 0x ≤ 2 x - 2 2 ,x ≥ 2