Enunciado

Prove o Teorema de Limite 7 aplicando o Teorema de Limite 6 e usando a indução matemática.

Passo 1

Teorema de Limite 6: Se

lim x → a ⁡ f 1 x = L 1 e lim x → a ⁡ f 2 x = L 2

Então

lim x → a [ ⁡ f 1 x . f 2 ( x ) ] = lim x → a ⁡ f 1 x . lim x → a ⁡ f 2 x = L 1 . L 2

Teorema de Limite 7: Se

lim x → a ⁡ f 1 x = L 1 ,   lim x → a ⁡ f 2 x = L 2 ,   ,   … ,   e   lim x → a ⁡ f n x = L n

Então

lim x → a ⁡ [ f 1 x . f 2 x . … . f n x ] = L 1 . L 2 . … . L n

Sendo assim, queremos provar o Teorema 7 usando para isso o Teorema 6.

Passo 2

Para começar, devemos notar que em 6 temos n = 2 , enquanto que para 7 temos n = k .

Nós desejamos provar que o Teorema 7 se mantem quando n = k + 1 . Então, pelo Teorema 6:

lim x → a ⁡ [ f 1 x . f 2 x … f k x ] . f k + 1 x = lim x → a ⁡ [ f 1 x . f 2 x … f k x ] . l i m x → a f k + 1 x

Assumindo que:

l i m x → a f k + 1 x = L k + 1

lim x → a ⁡ [ f 1 x . f 2 x … f k x ] . l i m x → a f k + 1 x = L 1 L 2 … L k . L k + 1

Concluindo, o Teorema 7 é válido para qualquer valor de n inteiro.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Seja f ( x ) a função definida pelo gráfico:Intuitivamente, encontre se existir:c) lim x → 1 ⁡ f ( x )
Mostrar que existe o limite de f x = 4 x - 5 em x = 3 e que é igual a 7 .
Definir e fazer o gráfico de uma função y = h ( x ) tal que lim x → 0 + ⁡ h ( x ) = 1 e lim x → 0 - ⁡ h x = 2 .
É dado f x = L . Determine um número δ para o ε dado tal que f x - L ε sempre que 0x - aδ . Dar exemplos de dois outros números positivos para δ , que também satisfazem a implicação dada. 2 x + 4 = 8
É dado f x = L . Determine um número δ para o ε dado tal que f x - L ε sempre que 0x - aδ . Dar exemplos de dois outros números positivos para δ , que também satisfazem a implicação dada. - 3 x + 7 =