Enunciado

Uma placa vertical é imersa (ou parcialmente imersa) na água e tem a forma indicada na figura a seguir. Explique como aproximar a força hidrostática em um lado da placa usando uma soma de Riemann. Então expresse a força como uma integral e calcule-a

Passo 1

Podemos ilustrar a situação da seguinte forma

Temos que o comprimento da linha pontilhada mostrada na figura é dada por 2 25 - y i * 2 , então, a área do retângulo mostrado na figura é

A = 2 25 - y i * 2 ∆ y

A pressão é dada por P = ∂ d i = ∂ 7 - y i * . Então podemos escrever a força como

F = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n ∂ 7 - y i * ⋅ 2 25 - y i * 2 ∆ y

Temos que ∂ = ρ g = 9800   N

Então, podemos escrever como uma integral

F = ∫ 0 5 ∂ 7 - y ⋅ 2 25 - y 2 d y = 2 ∂ ∫ 0 5 7 - y ⋅ 25 - y 2   d y = 2 ∂ 7 ∫ 0 5 25 - y 2   d y - ∫ 0 5 y 25 - y 2   d y = 19600 7 ∫ 0 5 25 - y 2   d y - - 1 3 25 - y 2 3 2 0 5 = 19600 7 1 4 π ⋅ 5 2 + 1 3 0 - 125 = 19600 175 π 4 - 125 3 ≈ 1,9 x 10 6   N

Resposta

F = 1,9 x 10 6   N

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