Enunciado

Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite.

lim x → 3 ⁡ x 5 = 3 5

Passo 1

Opa, bora lá! A gente tem que demonstrar que:

lim x → 3 ⁡ x 5 = 3 5

Mas já que a gente precisa fazer essa demonstração usando a definição de limite, vamos relembrar dessa definição.

Quando a gente tá falando de limite, não estamos no ponto x = a , nós estamos beeem pertinho dele. Mas sobre isso a gente já tá bem tranquilo ne?

Ta mas quão próximo de a deverá estar x para que f ( x ) difira de L por menos que uma tolerância ε bem pequena?

Em palavras mais fáceis e menos assustadoras, a gente tá dizendo que pra existir esse limite:

lim x → a ⁡ f x = L

A gente precisa provar o seguinte:

Que dado um pequeno intervalo L - ε   ,   L + ε ao redor de L , há de conseguir achar um valorzinho pra δ , que qualquer x dentro desse outro intervalinho ( a - δ , a + δ ) retorne na função um valor dentro do primeiro intervalo L - ε   ,   L + ε .

Na prática, você precisa dessas duas inequações que aparecem ali dentro da caixinha rosa:

se 0 < x - a < δ então f x - L < ε

Agora aplicando isso na nossa expressão:

lim x → 3 ⁡ x 5 = 3 5

se 0 < x - 3 < δ então x 5 - 3 5 < ε

Agora nós precisamos achar δ > 0 que atenda essas condições!

Passo 2

Bem, temos que:

x 5 - 3 5 < ε  

Vamos reorganizar:

1 5 x - 3 < ε

x - 3 < 5 ε

Opa isso aqui tá bem parecido com aquilo que a gente queria encontrar hein, olha só!

A gente tava procurando um valor δ que atendesse à seguinte inequação:

0 < x - 3 < δ

Então se x - 3 < 5 ε :

δ < 5 ε

Passo 3

Agora vamos fazer o caminho contrário.

Isso nos dá que se nós escolhemos δ = 5 ε , e substituirmos seu valor, temos que

0 < x - 3 < δ

x - 3 < 5 ε

x - 3 5 < ε

x 5 - 3 5 < ε

Pronto, nosso valor qualquer x dentro do intervalinho ( a - δ , a + δ ) retornou na função um valor dentro do primeiro intervalo L - ε   ,   L + ε .

Uhuuulll!

Provamos que o limite existe!

lim x → 3 ⁡ x 5 = 3 5

Prontinho!

Resposta

Demonstração.

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Nos exercícios de 1 a 22 são dados f x ,aeL , bem como lim x → a ⁡ f ( x ) = L .Usando argumentos similares àqueles dos Exemplos 1 e 2, determine um δ0 para o ϵ dado, tal que se 0x - aδ então f x - Lϵ
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