Enunciado

Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite.

lim x → 3 ⁡ x 2 + x - 12 x - 3 = 7

Passo 1

Dado que ε > 0 , nós precisamos achar δ > 0 , tal que se satisfaça a expressão abaixo:

0 < x - 3 < δ

Então temos que:

x 2 + x - 12 x - 3 - 7 < ε

Passo 2

Temos que notar aqui que se 0 < x - 3 , então x ≠ 3 , pois a expressão deve ser maior que zero, e não pode incluir o valor 0 .

Vamos simplificar a expressão de dentro do módulo x 2 + x - 12 x - 3 - 7 :

x 2 + x - 12 x - 3 = ( x + 4 ) ( x - 3 ) x - 3 = x + 4

Vamos agora substituir:

x 2 + x - 12 x - 3 - 7 < ε   ↔ x + 4 - 7 < ε ↔ x + 4 - 7 < ε ↔ x - 3 < ε

O que nos mostra que se:

0 < x - 3 < δ

Então:

x - 3 < ε

Passo 3

Isso nos dá que se nós escolhemos δ = ε , e substituirmos seu valor na primeira expressão do passo 1 , temos que:

0 < x - 3 < δ → x - 3 < ε   → x + 4 - 7 < ε → x 2 + x - 12 x - 3 - 7 < ε

Portanto, temos pelo limite da definição que o limite é:

lim x → 3 ⁡ x 2 + x - 12 x - 3 = 7

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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