Enunciado

Demonstre cada afirmação usando a definição ε , δ de limite e ilustre com um diagrama como o da Figura 9.

lim x → 1 ⁡ 2 x + 3 = 5

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos dá o seguinte limite:

lim x → 1 ⁡ 2 x + 3 = 5

Queremos demonstrar essa igualdade utilizando os conceitos de ε e δ .

A questão também nos pede para ilustrar o limite dado com um diagrama como o da seguinte figura:

Bom... vamos lembrar alguns conceitos antes:

“Seja f uma função definida em algum intervalo o aberto que contenha o número a, exceto possivelmente no próprio a . Então dizemos que o limite de f x quando x tende a a é L , e escrevemos:

lim x → a ⁡ f x = L

Se para todo número ε > 0 houver um número δ > 0 tal que

Se 0 < x - a < δ então f x - L < ε .”

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Dado que ε > 0 , nós precisamos achar δ > 0 , tal que se:

0 < x - 1 < δ

Então, temos que:

2 x + 3 - 5 < ε

Vamos agora simplificar isso:

2 x + 3 - 5 < ε ∴

2 x - 2 < ε ∴

2 x - 1 < ε ∴

x - 1 < ε 2

Passo 3

Resumindo o passo anterior, temos que se:

0 < x - 1 < δ

Então:

x - 1 < ε 2

Passo 4

Isso nos dá que se nós escolhemos δ = ε 2 , e substituirmos seu valor, temos que

0 < x - 1 < δ ∴

x - 1 < ε 2 ∴

2 x - 1 < ε ∴

2 x - 2 < ε

Podemos dizer que - 2 = 3 - 5 , portanto:

2 x + 3 - 5 < ε

Portanto, temos o limite

lim x → 1 ⁡ 2 x + 3 = 5

pelo limite da definição.

Passo 5

Aqui temos o diagrama:

Resposta

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Nos exercícios de 1 a 22 são dados f x ,aeL , bem como lim x → a ⁡ f ( x ) = L .Usando argumentos similares àqueles dos Exemplos 1 e 2, determine um δ0 para o ϵ dado, tal que se 0x - aδ então f x - Lϵ
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