Enunciado

Demonstre a identidade

arcsen (x - 1)/(x + 1) = 2 arctg sqrt(x) - (pi)/(2)

Passo 1

Eaeee, belezinha? Bom... a questão nos pede para demonstrar a seguinte identidade:

arcsen (x - 1)/(x + 1) = 2 arctg sqrt(x) - (pi)/(2)

Para isso, devemos “transforma” essa equação em uma função.

Com isso, podemos utilizar os artifícios de derivação para podemos provar a igualdade!!

Não entendeu né? Então vamos devagarinho que vai dar certo 😉

Passo 2

Primeiro vamos passar todo mundo para um lado só:

arcsen (x - 1)/(x + 1) - 2 arctg sqrt(x) + (pi)/(2) = 0

Com isso, podemos definir a seguinte função f (x) :

f (x) = arcsen (x - 1)/(x + 1) - 2 arctg sqrt(x) + (pi)/(2)

O domínio de f é [ 0 , oo ) .

Passo 3

Derivando a função, temos:

f^' (x) = (1)/(sqrt(1 - ((x - 1)/(x + 1))^2)) ((x + 1) - (x - 1))/((x + 1)^2) - (2)/(1 + x) (1)/(2 sqrt(x)) :.

f^' (x) = (1)/(sqrt(x) (x + 1)) - (1)/(sqrt(x) (x + 1)) ��

f^' (x) = 0

Veja que a derivada resultou em zero!!

Isso significa que está provado aquela nossa igualdade!!!

Caso fosse diferente de zero, então significaria que:

arcsen (x - 1)/(x + 1) != 2 arctg sqrt(x) - (pi)/(2)

Resposta

Demonstração

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