s)   ∫ 3 x + 2 x 3 d x

Passo 1

Chamando nossa integral de I , temos:

I = ∫ 3 x + 2 x 3 d x = 3 ⋅ ∫ 1 x d x + 2 ⋅ ∫ 1 x 3 d x

Não esquece: ∫ x n d x   = x n + 1 n + 1 + c   quando   n   ≠ - 1 e ∫ 1 x d x = ln ⁡ x + c

Passo 2

Resolvendo!

I 1 = 3 ⋅ ∫ 1 x d x = 3 ⋅ l n | x | + c 1

Além disso,

I 2 = 2 ⋅ ∫ 1 x 3 d x = 2 ⋅ x - 3 + 1 - 3 + 1 + c 2 = - x - 2 + c 2

E vai ficar assim:

I = I 1 + I 2 = 3 ⋅ l n x + c 1 - x - 2 + c 2 = 3 ⋅ l n x - 1 x 2 + c  

Não esquece: Quando temos uma indefinida, não podemos esquecer da constante c .

Passo 3

Verificando!

I = 3 ⋅ l n x - 1 x 2 + c

Atenção: Não esqueça da regra da cadeia.

Derivando para verificar,

I ' = 3 ⋅ l n x - 1 x 2 + c ' = ( 3 ⋅ 1 x ) - - 2 ⋅ x - 2 - 1 + 0 = 3 x + 2 x 3

Como a derivada deu igual que queremos integrar, então acertamos!!

Resposta

3 ⋅ l n x - 1 x 2 + c

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