Enunciado

7. Demonstre que, se f e g são funções ímpares, então f + g e f - g são também funções ímpares

Passo 1

Inicialmente vamos relembrar o que são funções ímpares:

Uma função é ímpar se:

f x = - f ( - x )

Passo 2

O enunciado nos diz que f ( x ) e g ( x ) são ímpares, então:

f x = - f ( - x )

g x = - g ( - x )

Agora temos que provar f ( x ) + g ( x ) é uma função ímpar também, para isso trocaremos o sinal das funções assim:

f - x + g - x = h ( x )

Porém f - x = - f ( x ) e g - x = - g ( x ) . Substituindo acima, temos:

h ( - x ) = f - x + g - x = - f ( x ) - g ( x )

Botando o menos na frente de todos os termos, temos:

f - x + g - x = - ( f x + g x )

h - x = - h ( x )

Essa expressão define uma função ímpar, portanto f x + g ( x ) é impar!

Passo 3

Agora temos que demonstrar a segunda expressão, que é:

f x - g ( x )

Chamaremos do mesmo h ( x ) utilizado antes

h x = f x - g ( x )

Trocando x de sinal temos:

h - x = f - x - g ( - x )

Porém f - x = - f ( x ) e g - x = - g ( x ) . Substituindo acima, temos:

h - x = - f x - ( - g ( x ) .)

h - x = g x - f ( x )

Botando o menos em evidência:

h - x = - f x - g x

Porém você se lembra o que era     f x - g x ?

Era o h ( x ) . Voltando para a expressão, vamos ter:

h - x = - h ( x )

O que define uma função ímpar, então h ( x ) , logo f x - g ( x ) também é ímpar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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