Enunciado

11. Expresse as funções seguintes como a soma de uma função par e uma função impar

c) f x = x - 1 x + 1

Passo 1

Inicialmente vamos relembrar o que são funções ímpares e funções pares

Uma função é ímpar se:

f x = - f ( - x )

Uma função é ímpar se:

f x = f ( - x )

Passo 2

Falaremos que a nossa função vai ser escrita por I x + P ( x ) .

Em que I x é uma função impar então :

I x = - I ( - x )

Em que   P x é uma função par então :

P x = P ( - x )

Passo 3

Temos então que:

I x + P x = x - 1 x + 1

Trocaremos x por ( - x ) .

I - x + P - x = - x - 1 - x + 1 = - x - 1 - x + 1

Lembrando das propriedades das funções impares e pares.

- I x + P x = - x - 1 - x + 1

Botando em sistemas:

I x + P x = x - 1 x + 1 - I x + P x = - x - 1 - x + 1

Somando essas duas equações:

2 P x = x - 1 x + 1 + - x - 1 - x + 1 = - x 2 + 2 x - 1 - x 2 - 2 x - 1 - x 2 + 1 = - 2 x 2 - 2 - x 2 + 1 = 2 x 2 + 2 x 2 - 1

P x = x 2 + 1 x 2 - 1

Substituindo nessa equação ( I x + P x = x - 1 x + 1 ):

I x + x 2 + 1 x 2 - 1 = x - 1 x + 1

I x = x - 1 x + 1 - x 2 + 1 x 2 - 1

. I x = x 2 - 2 x + 1 - x 2 - 1 x 2 - 1 = - 2 x x 2 - 1

Voltando a soma de P x + I ( x ) .

x - 1 x + 1 = P x + I ( x )

x - 1 x + 1 = x 2 + 1 x 2 - 1 + - 2 x x 2 - 1

Resposta

x - 1 x + 1 = x 2 + 1 x 2 - 1 + - 2 x x 2 - 1

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