Enunciado

Demonstre que a série obtida no Exercício 11 representa sen h ⁡ x para todo x .

Passo 1

No exercício 11 encontramos a série

sen h ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) !

Para que essa série represente a função, precisamos provar que seu erro R n → 0 para todo x , e nós conseguimos fazer isso usando a Desigualdade de Taylor que diz que se f n + 1 ( x ) ≤ M , então

R n x ≤ M n + 1 ! x - a n + 1

Como o centro é x = 0

R n x ≤ M n + 1 ! x n + 1

Passo 2

Para isso, precisamos saber como se comportam as derivadas de sen h ⁡ x , se derivarmos varias vezes, chegaremos sempre em senh ⁡ x ou cos h ⁡ x então de forma geral

f n + 1 x = sen h ⁡ x ou f n + 1 x = cos h ⁡ x

Pelas definições das funções hiperbólicas, tiramos que

senh ⁡ x < cosh ⁡ x

Mas temos que cosh ⁡ x > 0 para todo x

senh ⁡ x < cosh ⁡ x = cosh ⁡ x

Logo

f n + 1 x ≤ cosh ⁡ x

Como M precisa ser um valor constante, vamos pegar um valor c que obedeça x < c , então podemos dizer que

f n + 1 x ≤ cosh ⁡ c

E podemos usar

M = cosh ⁡ c

Então na desigualdade temos

R n x ≤ cosh ⁡ c n + 1 ! x n + 1

Passo 3

Agora só precisamos aplicar o limite, para calcularmos o erro em uma série infinita. Temos que para uma função do tipo

g x = x n n !

Quando n → ∞ temos que g x → 0 , como o lado direito da desigualdade segue esse padrão só muda que temos cosh ⁡ c , que é constante então pode sair do limite, e se o limite é 0 temos que cosh ⁡ c ⋅ 0 = 0 , então por comparação

lim n → ∞ ⁡ R n x = 0

Logo, a série

∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) !

representa a função sen h ⁡ x para todo x .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

O gráfico de f é mostrado.(a) Explique por que a série 1,6 - 0,8 x - 1 + 0,4 x - 1 2 - 0,1 x - 1 3 + … não é a série de Taylor de f centrada em 1 .(b) Explique por que a série 2,8 + 0,5 x - 2 + 1,5 x
Encontre a série de Taylor de f ( x ) centrada no valor dado de a . [Suponha que f tenha expansão em uma série de potencias. Não mostre que R n x → 0 .] f x = cos ⁡ x , a = π
Encontre a série de Maclaurin f ( x ) usando a definição de uma série de Maclaurin. [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que R n → 0 .] Também encontre o raio de converg
Encontre a série de Taylor de f ( x ) centrada no valor dado de a . [Suponha que f tenha expansão em uma série de potencias. Não mostre que R n x → 0 .] f x = sen ⁡ x , a = π / 2
Encontre a série de Maclaurin f ( x ) usando a definição de uma série de Maclaurin. [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que R n → 0 .] Também encontre o raio de converg