Enunciado

Demonstre o Teorema de Fermat para o caso no qual f tenha um mínimo local em c .

Passo 1

Opa! Bora pra mais uma?! O problema pede pra a gente demonstrar o Teorema de Fermat para o caso no qual f tenha um mínimo local em c .

Mas antes de qualquer coisa:

O Teorema de Fermat afirma que se uma função f x possui um mínimo local em c e f ( c ) existe, então a derivada da função f x em c deve ser igual a zero, ou seja, f ' c = 0 .

Passo 2

Se f tem um mínimo local em c , então:

g x = - f ( x )

Tem um máximo local em c , logo:

g ' c = 0

Ppelo caso do Teorema de Fermat provido no texto. Assim:

f ' c = - g ' x = 0

Outra forma de ver a situação é a seguinte:

Suponhamos que f x tenha um mínimo local em c . Isso significa que existe um intervalo aberto em torno de (c)no qual f ( x ) é menor ou igual a f c para todos os valores de x   dentro desse intervalo, exceto para x = c .

A derivada f ' c representa a taxa de variação de f ( x )   em c . Se   f x possui um mínimo local em c então a inclinação da tangente à curva da função em c deve ser horizontal (ou seja, a derivada é zero), porque, se a inclinação não fosse horizontal, haveria um ponto em que a função estaria crescendo ou decrescendo, o que não seria consistente com a definição de mínimo local.

Portanto, podemos concluir que f ’ ( c )   =   0 quando f ( x ) possui um mínimo local em c   demonstrando assim o Teorema de Fermat para esse caso.

Resposta

Desenvolvimento acima.

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59. Prove o Teorema 4.1.3 para o caso em que f tem um valor máximo relativo em c .
Uma partícula P desloca-se sobre o eixo x com velocidade constante e igual a 1 . Outra partícula Q desloca-se sobre a parábola y = 1 - x 2 de modo que sua projeção sobre o eixo x descreve um movimento
Do ponto A , situado numa das margens de um rio, de 100m de largura, deve-se levar energia elétrica ao ponto C situado na outra margem do rio. O fio a ser utilizado na água custa R $5 o metro, e o que
Certa pessoa que se encontra em A , para atingir C , utilizará na travessia do rio (de 100m de largura) um barco com velocidade máxima de 10k m / h ; de B a C utilizará uma bicicleta com velocidade má
Sejam P = 0 , a e Q = b , c , onde a , b e c são números reais dados e estritamente positivos. Seja M = x , 0 , com 0 ≤ x ≤ b .Determine x para que o perímetro do triângulo P M Q seja mínimo.Conclua q