Enunciado

Do ponto A , situado numa das margens de um rio, de 100   m de largura, deve-se levar energia elétrica ao ponto C situado na outra margem do rio. O fio a ser utilizado na água custa R $   5 o metro, e o que será utilizado fora, R $   3 o metro. Como deverá ser feita a ligação para que o gasto com os fios seja o menor possível? (Suponha as margens retilíneas e paralelas.)

Passo 1

Peraí, vamos relembrar algumas coisas: o custo com fios dentro da água é R $   5 por metro (ou seja, cada metro de A até B custa R $   5 ) e fora da água custa R $   3 o metro (cada metro de B até C será R $   3 )

Vamos primeira definir a equação para o custo total:

C = A B - ∙ 5 + B C - ∙ 3   ( I )

Onde A B - é a distância entre A e B e B C - é a distância entre B e C . Vamos supor um triângulo A B D :

Mas precisamos encontrar relações para A B e B C né? Pra aí termos uma função com uma variável só, vamos lá!!

Passo 2

Da imagem do passo 1, temos, por relação de triângulo retângulo:

cos ⁡ B Â D = c a t e t o   a d j a c e n t e h i p o t e n u s a

cos ⁡ B Â D = A D - A B -

cos ⁡ B Â D = 100 A B -

A B - = 100 cos ⁡ B Â D   ( I I )

Passo 3

Também das relações de triângulo retângulo, temos

tan ⁡ B Â D = c a t e t o   o p o s t o c a t e t o   a d j a c e n t e

tan ⁡ B Â D = x A D -

tan ⁡ B Â D = x 100

x = 100 ∙ tan ⁡ B Â D   ( I I I )

Passo 4

Última relação que precisamos encontrar pra esse exercício hehehe da figura, temos que D C - = B C - + x

Então:

D C - = B C - + x

Mas D C - = 1000 e x , pelo passo anterior, vale 100 ∙ tan ⁡ B Â D :

1000 = B C - + 100 ∙ tan ⁡ B Â D

B C - = 1000 - 100 ∙ tan ⁡ B Â D   ( I V )

Passo 5

Substituindo ( I I ) e ( I V ) na equação ( I ) do custo total:

C = A B - ∙ 5 + B C - ∙ 3

C = 5 ∙ 100 cos ⁡ B Â D + 3 ∙ 1000 - 100 ∙ tan ⁡ B Â D

C = 500 cos ⁡ B Â D + 3000 - 300 ∙ tan ⁡ B Â D

Temos a função C em função de B Â D certo?

Agora queremos saber quando esse custo será mínimo. Isso vai acontecer quando sua derivada for igual a 0 não é? Pois vimos que nesse ponto, a função está em seu mínimo.

Então a função C admitirá um mínimo quando d C d B Â D = 0 .

Passo 6

Vamos derivar a função e igualar a 0 :

C = 500 cos ⁡ B Â D + 3000 - 300 ∙ tan ⁡ B Â D

d C d B Â D = 500 cos ⁡ B Â D + 3000 - 300 ∙ tan ⁡ B Â D ' = 0

Derivando:

500 ∙ sec ⁡ B Â D ∙ tan ⁡ B Â D + 0 - 300 ∙ sec 2 ⁡ B Â D = 0

500 ∙ sec ⁡ B Â D ∙ tan ⁡ B Â D - 300 ∙ sec 2 ⁡ B Â D = 0

sec ⁡ B Â D . 500 tan ⁡ B Â D - 300 sec ⁡ B Â D = 0

Humm, temos uma multiplicação de fatores cujo resultado dá 0

Assim,

sec ⁡ B Â D = 0

OU:

500 tan ⁡ B Â D - 300 sec ⁡ B Â D = 0

Como sec ⁡ B Â D = 1 cos ⁡ B Â D , isso nuuunca vai ser 0 !! Então nos resta usar nossa segunda opção:

500 tan ⁡ B Â D - 300 sec ⁡ B Â D = 0

500 tan ⁡ B Â D = 300 sec ⁡ B Â D

500 sin ⁡ B Â D cos ⁡ B Â D = 300 cos ⁡ B Â D

500 sin ⁡ B Â D = 300

sin ⁡ B Â D = 300 500 = 3 5

Passo 7

Beleza, temos que o seno sin ⁡ B Â D = 3 5

Lembrando da relação fundamental da trigonometria:

sin 2 ⁡ B Â D + cos 2 ⁡ B Â D = 1

3 5 2 + cos 2 ⁡ B Â D = 1

cos 2 ⁡ B Â D = 1 - 9 25 = 16 25

cos ⁡ B Â D = 4 5

Assim,

x = 100 ∙ tan ⁡ B Â D = 100 ∙ sin ⁡ B Â D cos ⁡ B Â D = 100 ∙ 3 5 4 5 = 100 ∙ 3 4 = 75   m

Passo 8

Agora vamos observar essa figura de novo:

Encontramos que x = 75 , então quantos metros temos em A B e em B C ?

Em B C podemos só fazer uma subtração né, porque

B C = 1000 - x

B C = 925   m

Como em B C temos fios fora da água, cada metro custa R $   3 , então vamos gastar:

F = 925 * 3 = R $   2775,00

Agora vamos encontrar o comprimento A B usando Pitágoras:

A B 2 = 100 2 + x ²

A B 2 = 100 2 + 75 ²

A B 2 = 15625

A B = 125   m

Como A B está relacionado ao fio dentro da água, cada metro custará R $   5 :

D = 125 * 5 = R $   625,00

Ou seja, a nossa ligação será feita com 925 m de fio fora da água ( R $   2775,00 ) e 125 m dentro da água ( R $   625,00 ) , e portanto, gastaremos 2775 + 625 = R $   3400,00 , o menor valor possível para a situação.

E acabouuuuuuuu :D

Resposta

A nossa ligação será feita com 925 m de fio fora da água ( R $   2775,00 ) e 125 m dentro da água ( R $   625,00 ) , e portanto, gastaremos 2775 + 625 = R $   3400,00 , o menor valor possível para a situação.

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