Enunciado

A densidade linear de um cabo de comprimento de 1 m é dado por ρ x = 1 / x , em gramas por centímetro, onde x é medido em centímetros a partir da extremidade do cabo. Encontre a massa do cabo.

Passo 1

Fala aí! tudo certinho? 😊

Nesse problema temos que a densidade linear de um cabo de comprimento de 1 m é dado por

ρ x = 1 x

em gramas por centímetro, onde x é medido em centímetros a partir da extremidade do cabo. A partir daí queremos obter a massa total do cabo.

Parece complicado? 🤔

Para resolver esse problema temos que saber que ρ x = d m d x

Portanto, para resolver esse problema temos que obter a antiderivada de ρ .

Chamaremos a massa, medida a partir de uma extremidade, de m ( x ) , e m 0 = 0 .

Veja só! 😉

Passo 2

A densidade é:

ρ = d m d x = x - 1 2

Calculando a antiderivada de ρ , temos

m x = 2 x 1 2 + C

E como m 0 = C = 0 ...

m x = 2 x

Bacana, não é? 😬

Passo 3

Tendo a fórmula geral, podemos encontrar a massa do cabo de 100 cm:

m 100 = 2 100

m 100 = 20 g

E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 😎

Resposta

m = 20 g

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Demonstre que y =∫ 0 x1 + 2 s e c t d t esolve o problema de valor inicial d 2 y d x 2 = s e c xt g x; y ´ 0 = 3,y 0 = 0 . s s
Demonstre que y = x 2 + ∫ 1 x 1 td t resolve o problema de valor inicial d 2 y d x 2 = 2 - 1 x 2 ; y ´ 1 = 3 , y 1 = 1
Resolva o problema de valor inicial d y d x = 1 x 2 + 1; y ( 0 ) = 1