Enunciado

62. Derivada d t d x no Exemplo 4

b. Demonstre que:

g x = d - x b 2 + ( d - x ) ²

é uma função decrescente de x .

Passo 1

b) Para fazermos essa demonstração, temos que entender quando uma função é crescente ou decrescente, ok? Uma função f ( x ) é crescente se sua derivada primeira for maior do que zero, isto é, f ' x > 0 . Ademais, essa mesma função f ( x ) é decrescente se sua derivada primeira for menor do que zero, isto é, f ' x < 0 . Derivando a função que nos foi dada, teremos:

g ' x = u ' . v - u . v ' v ²

Sim, teremos que utilizar a regra do quociente para resolver esse trem aí! Continuando, temos:

u = d - x ⇒ u ' = - 1

v = b 2 + d - x 2 ⇒ v ' = 1 2 . b 2 + d - x 2 - 1 2 . 2 . d - x . ( - 1 )

∴ v ' = - d - x b 2 + d - x 2

Substituindo na regra do quociente, teremos:

g ' x = - 1 . b 2 + d - x 2 + d - x . d - x b 2 + d - x 2 b 2 + d - x 2

∴ g ' x = - b 2 ( b 2 + d - x 2 3 2 < 0

Então fica provado que g ( x ) é, de fato, uma função decrescente de x .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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