Enunciado

Derive a função.

f u = u 1 + ln ⁡ u

Passo 1

Fala aí, tudo belezinha com você?

Bom, essa questão é bem direta. Ela pede pra gente calcular a derivada da função dada por:

f u = u 1 + ln ⁡ u

Em questões desse tipo precisamos analisar qual é a forma da função que estamos querendo derivar, assim poderemos escolher a regra de derivação mais adequada.

E perceba que nossa função é formada por uma fração. Em casos desse tipo podemos pensar na função como a divisão de duas outras funções. Sendo elas:

f u = g u h u

Então sua derivada pode ser calculada usando a regra do quociente. Assim:

g h ' = g ' h - g h ' h 2

Perceba que para usar essa regra precisaremos das funções g u , h u e de suas dderivadas. Depois, basta aplicar nessa fórmula aí e teremos nossa resposta final.

Então esse é o plano. Vem comigo que te mostro tudinho no passo a passo.

Passo 2

Nossa função é:

f u = u 1 + ln ⁡ u

E como estamos olhando pra ela como:

f u = g u h u

Teremos:

g u = u

E derivando, ficamos com:

g ' u = 1

E

h u = 1 + ln ⁡ u

Lembrando que a deriva de constante é igual a zero, e a derivada de ln ⁡ u é 1 u , teremos:

h ' u = 1 u

Passo 3

Agora já temos tudo que precisávamos, basta substituir diretamente na fórmula da regra do produto.

f ' u = g h ' = g ' h - g h ' h 2

Isso implica que:

f ' u = 1 ⋅ 1 + ln ⁡ u - u 1 u 1 + ln ⁡ u 2

Simplificando, ficamos com:

f ' u = 1 + ln ⁡ u - 1 1 + ln ⁡ u 2

E eliminando os termos 1 e - 1 , teremos:

f ' u = ln ⁡ u   1 + ln ⁡ u 2

Prontinho. Essa é nossa derivada.

Resposta

f ' u = ln ⁡ u   1 + ln ⁡ u 2

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