Enunciado

(a) Encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente.

(b) Encontre os valores máximo e mínimo locais de f.

(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

f x = 2 x 3 + 3 x 2 - 36 x

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom... A questão nos dá a seguinte função:

f x = 2 x 3 + 3 x 2 - 36 x

Queremos calcular os intervalos em que f é crescente ou decrescente, os valores máximo e mínimo locais de f, os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

Muita coisa, né??

Vamos devagarinho que vai dar tudo certo!! 😉

Passo 2

Para achar os números críticos de f , derivamos:

f ' x = 6 x 2 + 6 x - 36

Reorganizamos:

f ' x = 6 ( x 2 + x - 6 )

Para completarmos os quadrados, precisamos de dois números multiplicados sejam iguais a 6. Então,

f ' x = 6 ( x + 3 ) ( x - 2 )

Logo, para f ' ( x ) = 0 , o valor de x pode ser - 3 ou 2 , montamos a tabela e analisamos as equações:

Passo 3

Para os valores de máximo e mínimo, analisamos os sinais de acordo com o Teste da Primeira Derivada.

Como o sinal de muda de positivo para negativo em x = - 3 , o teste nos diz que há um máximo local em x = - 3 e o valor máximo local é

f - 3 = 2 ( - 3 ) 3 + 3 ( - 3 ) 2 - 36 - 3 ∴

f - 3 = 81

E o mínimo é em x = 2 , pois é onde o sinal muda de negativo para positivo. Esse valor é de:

f 2 = 2 ( 2 ) 3 + 3 ( 2 ) 2 - 36 ( 2 ) ∴

f 2 = - 44

Passo 4

Com os valores já calculados agora determinamos os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão pelo Teste da Segunda derivada. Fazendo:

f x = 2 x 3 + 3 x 2 - 36 x

f ' ' x = 12 x + 6

Então, temos que quando f ' ' ( x ) = 0 , x = - 1 2 ,   f ' ' x > 0 , então, x > - 1 2 .

E, para f ' ' x < 0 , x < - 1 2 .

Portanto, a concavidade é para cima em - 1 2 , ∞ e para baixo em - ∞ , - 1 2 .

O ponto de inflexão é onde x , f x , logo

f - 1 2 = 2 ( - 1 2 ) 3 + 3 ( - 1 2 ) 2 - 36 ( - 1 2 )

f - 1 2 = 37 2

Dessa forma, podemos dizer que:

x , f x = - 1 2 , 37 2

Resposta

(a)

(b) f - 3 = 81 e f 2 = - 44

(c)   ( - 1 2 , 37 2 ) .

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Suponha que h e g tenham máximo relativo em x 0 . Prove que vale ou que não vale: f + g tem um máximo relativo em x 0 . h - g tem um máximo relativo em x 0 .
Em cada parte, encontre k de tal forma que f tenha um extremo relativo em x = 3 . f x = x 2 + k x f x = x x 2 + k
Use um recurso gráfico para fazer uma conjectura sobre os extremos relativos de f e, então, confira sua conjectura usando o teste da derivada primeira ou derivada segunda. f x = 10 ln ⁡ x - x
As funções da forma f x = 1 2 π e - x 2 2 surgem em uma variedade de problemas estatísticos.Use o teste da derivada primeira para mostrar que f tem um máximo relativo em x = 0 e confirme isso usando u
Use um recurso gráfico computacional para gerar os gráficos de f ' e de f ' ' no intervalo indicado e, então, use-os para estimar as coordenadas x dos extremos relativos de f . Verifique se as suas es