Enunciado

Derive a função.

f x = sen ⁡ x ln ⁡ ( 5 x )

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom.. a questão quer que derivemos a seguinte função:

f x = sen ⁡ x ln ⁡ ( 5 x )

Para isso, devemos utilizar a regra do produto:

Sejam duas funções deriváveis u e v . A derivada do produto entre elas é dada por:

u v ' = u ' v + u v '

Ah... lembre-se que a derivada do seno e do logaritmo natural são dadas respectivamente por:

sin ⁡ x ' = cos ⁡ x

ln ⁡ x ' = 1 x

A regra do produto é uma regra básica de diferenciação que nos permite encontrar a derivada de um produto de duas funções.

Sejam u x   e   v ( x ) duas funções diferenciáveis em relação a x , então a derivada do produto u x ⋅ v ( x ) é dada pela fórmula:

d d x u x ⋅ v x = u ' x ⋅ v x + u x ⋅ v ' ( x )

Passo 2

Onde:

-   u ' ( x ) é a derivada de u x   em relação a x .

- v ' ( x ) é a derivada de v ( x ) em relação a x .

Essencialmente, a regra do produto nos diz que a derivada de um produto de duas funções é igual à derivada da primeira função multiplicada pela segunda função, mais a primeira função multiplicada pela derivada da segunda função.

Na sua função f x = sin ⁡ ( x ) ln ⁡ 5 x , aplicamos a regra do produto para encontrar a derivada. Derivamos cada uma das funções sin ⁡ ( x )   e ln ⁡ 5 x separadamente e, em seguida, usamos a fórmula da regra do produto para combinar as duas derivadas individuais.

Passo 3

Para derivar a função f x = sin ⁡ ( x ) ln ⁡ 5 x , usaremos a regra do produto, que afirma que a derivada do produto de duas funções é dada pela derivada da primeira função vezes a segunda função mais a primeira função vezes a derivada da segunda função.

Vamos derivar termo a termo:

Derivada de sin ⁡ ( x ) :

d d x sin ⁡ x = cos ⁡ ( x )

Derivada de ln ⁡ ( 5 x ) :

Para derivar ln ⁡ 5 x , usaremos a regra da cadeia:

d d x ln ⁡ ( u ) = 1 u ⋅ d u d x

Onde u = 5 x

d d x ln ⁡ 5 x = 1 5 x ⋅ 5 = 1 x

Passo 4

Agora, aplicando a regra do produto, temos:

f ' x = cos ⁡ ( x ) ln ⁡ 5 x + sin ⁡ x ⋅ 1 x

Portanto, a derivada da f ( x ) é:

f ' x = cos ⁡ ( x ) ln ⁡ 5 x + sin ⁡ x ⋅ 1 x

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

f ' x = cos ⁡ ( x ) ln ⁡ 5 x + sin ⁡ x ⋅ 1 x

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