Derive:

12) y = cos(x) / (1 - sen x)

Passo 1

Opa, vamos fazer essa questão! O enunciado nos dá:

y = cos ⁡ x 1 - s e n   x

E pede pra a gente derivar! Para isso vamos usar a regra do produto:

f ' x = g x h x ' = g ' x h x - h ' x g ( x ) h x 2

Podemos dizer que:

g x = cos ⁡ x

h x = 1 - sin ⁡ x

Bora colocar a mão na massa?

Passo 2

Antes de substituirmos na regra do quociente, vamos calcular as derivadas de g ' ( x ) e f ' ( x ) separadamente:

g x = cos ⁡ x

h x = 1 - sin ⁡ x

Aqui temos duas funções trigonométricas, mas não se preocupe, as duas são tabeladas! Temos que:

d cos ⁡ x d x = - sin ⁡ x

d sin ⁡ x d x = cos ⁡ x

Então:

g ' x = - sin ⁡ x

h ' x = - cos ⁡ x

Agora vamos substituir na regra do quociente:

f ' x = g x h x ' = g ' x h x - h ' x g ( x ) h x 2

f ' x = 1 - sin ⁡ x - sin ⁡ x - cos ⁡ x - cos ⁡ x 1 - sin ⁡ x 2

f ' x = sin 2 ⁡ x - sin ⁡ x + cos 2 ⁡ x 1 - sin ⁡ x 2

Temos que:

cos 2 ⁡ x + sin 2 ⁡ x = 1

Portanto:

f ' x = - sin ⁡ x + 1 1 - sin ⁡ x 2 = 1 - sin ⁡ x 1 - sin ⁡ x 2

f ' x = 1 1 - sin ⁡ x

Prontinho!

Resposta

f ' x = 1 1 - sin ⁡ x

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