Enunciado

Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.

y = (1)/(x^2 - 9)

Passo 1

Eaeee, belezinha??? Bom... A questão pede para usarmos a roteiro apresentado na seção do livro para fazer um esboço da curva.

Assim, precisamos encontrar o domínio da função, interseção com eixos, limites no infinito, intervalos de crescimento, pontos críticos, fazer um estuda da concavidade e qualquer outra consideração que ajude a entender bem o comportamento da função.

Eiiita, muita coisa né??? Então vamos com calma que vai dar certo!!!

😉

Passo 2

O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada para os quais a função produz um resultado válido.

Sabendo disso, é importante observar as restrições que uma função pode ter.

No nosso caso, como o denominador não pode se anular, devemos ter x^2 - 9 != 0 .

Assim, x != +- 3 . Desta forma, o domínio da função

D_f = R - { - 3,3 }

Passo 3

A curva não tem raízes de modo que ela cruza o eixo x pois, fazendo y = 0 , temos:

(1)/(x^2 - 9) = 0

Podemos observar a cima que haverá uma indeterminação.

Todavia, ela cruva o eixo y : fazendo x = 0 , obtemos que sua interseção com o eixo y ocorre em:

y = (1)/(0^2 - 9) :.

y = - (1)/(9)

Logo, temos o ponto (0 , - (1)/(9)) .

Passo 4

Observe que a função é par, pois:

f (- x) = (1)/((- x)^2 - 9) :.

f (- x) = (1)/(x^2 - 9) :.

f (- x) = f ( x )

Portanto, a curva é simétrica em relação ao eixo y .

Passo 5

Vamos agora procurar possíveis assíntotas. Para x indo para +- oo :

underset(x -> - oo)(lim) (1)/(x^2 - 9) = underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x^2 - 9) = 0

Assim, tanto para - oo como para + oo , o eixo x é assíntota horizontal da função.

Como tanto x = - 3 como x = 3 não estão no domínio da função, temos que verificar se a curva tem assíntotas verticais nesse ponto.

Como a função é par, podemos verificar apenas para x = 3 e caso ela tenha assíntota nesse ponto, terá em x = - 3 também!

underset(x -> 3^-)(lim) (1)/(x^2 - 9) = (1)/(0^-) = - oo

underset(x -> 3^+)(lim) (1)/(x^2 - 9) = (1)/(0^+) = + oo

Assim, as retas x = - 3 e x = 3 são assíntotas verticais da curva.

Passo 6

Vamos estudar agora os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Calculando a primeira derivada:

y^' = (0 * (x^2 - 9) - 1 * 2 x)/((x^2 - 9)^2) = - (2 x)/((x^2 - 9)^2)

Como (x^2 - 9)^2 > 0 , o sinal da derivada será

Assim, o ponto (0 , - (1)/(9)) é ponto de máximo local.

Passo 7

Por fim, vamos analisar a concavidade da curva. Fazendo a segunda derivada:

y^(' ') = - (2 * (x^2 - 9)^2 - 2 x * 2 (x^2 - 9) * 2 x)/((x^2 - 9)^4) = - (2 x^2 - 18 - 8 x^2)/((x^2 - 9)^3) = (6 ( x^2 + 3 ))/((x - 3)^3 (x + 3)^3)

Como x^2 + 3 > 0 , apenas o denominador vai importar para o sinal de y ' ' :

Com base nessas informações, temos o seguinte esboço:

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

O esboço da curva:

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