Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.5 - Ex. 13
Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.
Passo 1
Eaeee, belezinha??? Bom... A questão pede para usarmos a roteiro apresentado na seção do livro para fazer um esboço da curva.
Assim, precisamos encontrar o domínio da função, interseção com eixos, limites no infinito, intervalos de crescimento, pontos críticos, fazer um estuda da concavidade e qualquer outra consideração que ajude a entender bem o comportamento da função.
Eiiita, muita coisa né??? Então vamos com calma que vai dar certo!!!
😉
Passo 2
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada para os quais a função produz um resultado válido.
Sabendo disso, é importante observar as restrições que uma função pode ter.
No nosso caso, como o denominador não pode se anular, devemos ter .
Assim, . Desta forma, o domínio da função
Passo 3
A curva não tem raízes de modo que ela cruza o eixo pois, fazendo , temos:
Podemos observar a cima que haverá uma indeterminação.
Todavia, ela cruva o eixo : fazendo , obtemos que sua interseção com o eixo ocorre em:
Logo, temos o ponto .
Passo 4
Observe que a função é par, pois:
Portanto, a curva é simétrica em relação ao eixo .
Passo 5
Vamos agora procurar possíveis assíntotas. Para indo para :
Assim, tanto para como para , o eixo é assíntota horizontal da função.
Como tanto como não estão no domínio da função, temos que verificar se a curva tem assíntotas verticais nesse ponto.
Como a função é par, podemos verificar apenas para e caso ela tenha assíntota nesse ponto, terá em também!
Assim, as retas e são assíntotas verticais da curva.
Passo 6
Vamos estudar agora os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Calculando a primeira derivada:
Como , o sinal da derivada será
Assim, o ponto é ponto de máximo local.
Passo 7
Por fim, vamos analisar a concavidade da curva. Fazendo a segunda derivada:
Como , apenas o denominador vai importar para o sinal de :
Com base nessas informações, temos o seguinte esboço:
Entendeu direitinho?? Responde aee 😉
Resposta
O esboço da curva:
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