Enunciado

(a) Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.

(b) Encontre os valores máximos ou mínimos locais.

(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

(d) Use as informações das partes (a)-(c) para esboçar o gráfico. Verifique seu trabalho com uma ferramenta gráfica, se você tiver uma.

f x = 2 + 2 x 2 - x 4

Passo 1

Item a:

Uma função é crescente quando sua derivada é positiva e decrescente quando sua derivada é negativa. Portanto, para avaliar os intervalos onde f é crescente ou decrescente, vamos obter a derivada e analisar o seu sinal:

f ' x = 4 x - 4 x 3

f ' x = 4 x - x 3

f ' x = 4 x 1 - x 2

f ' x = 4 x 1 - x 1 + x

Estudando o sinal temos a tabela:

Portanto, f é decrescente para valores de x nos intervalos - 1,0 e 1 , ∞ e crescente nos intervalos - ∞ , - 1 e 0,1 .

Passo 2

Item b:

Os pontos onde a derivada é zero, pontos críticos são:

f ' x = 0

4 x 1 - x 1 + x = 0

x = 0 ou x = - 1 ou   x = 1

Como f cresce até x = - 1 e decresce a partir dele, x = - 1 é ponto de máximo local.

Como f decresce até x = 0 e cresce a partir dele, x = 0 é ponto de mínimo local.

Como f cresce até x = 1 e decresce a partir dele, x = 1 é ponto de máximo local.

Passo 3

Item c:

A concavidade de uma função é indicada pelo sinal da derivada segunda. Quando a derivada segunda é positiva, a função possui concavidade voltada para cima e quando a derivada segunda é negativa, a função possui concavidade voltada para baixo. Então devemos obter a derivada segunda e estudar o seu sinal:

f ' ' x = 4 1 - 3 x 2

Para f ' ' x > 0

4 1 - 3 x 2 > 0

1 - 3 x 2 > 0

1 3 > x 2

x < 3 3

- 3 3 < x < 3 3

Para f ' ' x < 0

4 1 - 3 x 2 < 0

1 - 3 x 2 < 0

1 3 < x 2

x > 3 3

x < - 3 3 ou x > 3 3

Logo, f possui concavidade para cima para valores de x no intervalo - 3 3 , 3 3 e concavidade para baixo para valores de x no intervalo - ∞ , - 3 3 e 3 3 , ∞ . E os pontos de inflexão são x = - 3 3 e x = 3 3 .

Passo 4

Item d:

Com as informações obtidas, temos o gráfico:

Resposta

(a) f é decrescente para valores de x nos intervalos - 1,0 e 1 , ∞ e crescente nos intervalos - ∞ , - 1 e 0,1 .

(b) x = - 1 é ponto de máximo local, x = 0 é ponto de mínimo local e x = 1 é ponto de máximo local.

(c) f possui concavidade para cima para valores de x no intervalo - 3 3 , 3 3 e concavidade para baixo para valores de x no intervalo - ∞ , - 3 3 e 3 3 , ∞ . E os pontos de inflexão são x = - 3 3 e x = 3 3 .

(d)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

45-54. Usando a regra de L’Hôspital (Seção 3.6), podemos conferir que: lim x → + ∞ ⁡ e x x = + ∞ ,lim x → + ∞ ⁡ x e x = 0 ,lim x → - ∞ ⁡ x e x = 0 Nestes exercícios:a) use esses limites, se necessário
55-60. Usando a regra de L’Hôpital (Seção 3.6), podemos conferir que: lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x r = 0 ,lim x → + ∞ ⁡ x r ln ⁡ x = + ∞ ,lim x → 0 + ⁡ x r ln ⁡ x = 0 Com qualquer número real positivo r . N
39-44. Obtenha um gráfico da função e identifique a localização de todos os pontos de extremos relativos e de inflexão. Confira seu trabalho com um recurso gráfico.44. tan ⁡ x ,0 ≤ xπ 2
45-54. Usando a regra de L’Hôspital (Seção 3.6), podemos conferir que: lim x → + ∞ ⁡ e x x = + ∞ ,lim x → + ∞ ⁡ x e x = 0 ,lim x → - ∞ ⁡ x e x = 0 Nestes exercícios:a) use esses limites, se necessário
45-54. Usando a regra de L’Hôspital (Seção 3.6), podemos conferir que: lim x → + ∞ ⁡ e x x = + ∞ ,lim x → + ∞ ⁡ x e x = 0 ,lim x → - ∞ ⁡ x e x = 0 Nestes exercícios:a) use esses limites, se necessário