Enunciado

Descreva a mudança no gráfico de   f à medida que c varia. Faça o gráfico de vários membros da família para ilustrar as tendências que você descobriu. Em particular, você deve investigar como os pontos de máximo e mínimo e os pontos de inflexão movem-se quando c varia. Você deve também identificar qualquer valor intermediário de c no qual o aspecto básico da curva mude.

f x = c x + sen ⁡ x

Passo 1

f x = c x + sen ⁡ x → f ' x = c + cos ⁡ x → f ' ' x = - se n ⁡ x

f - x = - f ( x ) , então f é uma função ímpar e seu gráfico é simétrico a respeito da origem.

f x = 0 ↔ se n ⁡ x = - c x , então 0 é sempre um intercepto de x .

Passo 2

f ' x = 0   ↔ cos ⁡ x = - c , então não há ponto crítico quando c > 1 . Se c ≤ 1 , então há infinitamente muitos pontos críticos. Se x 1 é a única solução de cos ⁡ x = - c no intervalo [ 0 , π ] , então os números críticos são 2 n π ± x 1 , onde n varia sobre os inteiros.

f ' ' x < 0 ↔ se n ⁡ x > 0 , então f é côncava para baixo nos intervalos de forma ( 2 n π , 2 n + 1 π ) . f é côncava para cima nos intervalos de forma ( 2 n - 1 π , 2 n π ) . Os pontos de inflexão de f são os pontos ( 2 n π , 2 n π c ) , onde n é um inteiro.

Passo 3

Se c ≥ 1 , então f ' x ≥ 0 para todo x , então f é crescente e não tem valor extremo.

Se c ≤ - 1 , então f ' x ≤ 0 para todo x , então f é decrescente e não tem valor extremo.

Se c < 1 , então f ' x > 0 ↔ cos ⁡ x > - c ↔ x > - x ↔ x está num intervalo de formato ( 2 n π - x 1 , 2 n π + x 1 ) para algum inteiro n . Esses são os intervalos em que f é crescente. Similarmente, nós encontramos que f é decrescente nos intervalos de forma ( 2 n π + x 1 , 2 n + 1 π - x 1 ) . Assim, f tem um máximo local nos pontos ( 2 n π + x 1 ) , onde f tem os valores c 2 n π + x 1 + se n ⁡ x 1 = c 2 n π + x 1 + 1 - c 2 , e f tem mínimo local nos pontos   ( 2 n π - x 1 ) , onde nós temos f 2 n π - x 1 = c 2 n π - x 1 - se n ⁡ x 1 = c   2 n π - x 1 - 1 - c 2 . Os valores transitórios de c são - 1 e 1 . Os pontos de inflexão se movem verticalmente, mas não horizontalmente, quando c muda.

Quando c ≥ 1 , não há valores extremos.

Para c < 1 , os máximos são espaçados em 2 π pela horizontal, assim como os pontos mínimos.

O espaçamento horizontal entre máximos e mínimos adjacentes é regular e igual a π quando c = 0 , mas o espaço horizontal entre um máximo local e o mínimo mais próximo encolhe conforme | c | se aproxima de 1 .

Passo 4

Esboço do gráfico:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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