Enunciado

Descreva a mudança no gráfico de   f à medida que c varia. Faça o gráfico de vários membros da família para ilustrar as tendências que você descobriu. Em particular, você deve investigar como os pontos de máximo e mínimo e os pontos de inflexão movem-se quando c varia. Você deve também identificar qualquer valor intermediário de c no qual o aspecto básico da curva mude.

f x = c x 1 + c 2 x 2

Passo 1

Note que c = 0 é um valor transitório no gráfico que consiste no eixo x . Além disso, podemos ver que se nós substituirmos - c por c , a função será refletida no eixo x , então investigaremos apenas valores positivos de c , exceto c = - 1 , como demonstração dessa propriedade de refletividade. Também temos que f é uma função ímpar. lim x → ± ∞ ⁡ f x = 0 , então y = 0 é uma assíntota horizontal para qualquer c .

Passo 2

Calculando a primeira derivada:

f ' x = 1 + c 2 x 2 c - c x 2 c 2 x 1 + c 2 x 2 2 = c c 2 x 2 - 1 1 + c 2 x 2 2

Para f ' x = 0 temos c 2 x 2 - 1 = 0 ↔ x = ± 1 c . Assim, há um valor máximo em f 1 c = 1 2 , e um valor mínimo em f - 1 c = - 1 2 . Esses valores extremos tem o mesmo valor independente de c , mas o ponto máximo se move para mais perto do eixo y conforme c aumenta.

Passo 3

Calculando a segunda derivada:

f ' ' x = - 2 c 3 x 1 + c 2 x 2 - - c 3 x 2 + c 2 1 + c 2 x 2 2 c 2 x 1 + c 2 x 2 4 =

- 2 c 3 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 2 - c 4 c 2 x 1 + c 2 x 2 3 = 2 c 3 x c 2 x 2 - 3 1 + c 2 x 2 3

f ' ' x = 0 ↔ x = 0   o u   x = ± 3 c , então há pontos de inflexão em ( 0,0 ) e em ± 3 c , ± 3 4

Novamente, a coordenada y dos pontos de inflexão não dependem de c , mas conforme c cresce, os pontos se aproximam do eixo y .

Passo 4

Esboço do gráfico:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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