Enunciado

Descreva a mudança no gráfico de   f à medida que c varia. Faça o gráfico de vários membros da família para ilustrar as tendências que você descobriu. Em particular, você deve investigar como os pontos de máximo e mínimo e os pontos de inflexão movem-se quando c varia. Você deve também identificar qualquer valor intermediário de c no qual o aspecto básico da curva mude.

f x = c x 1 + c 2 x 2

Passo 1

Oieee, tudo bem?

Bora resolver comigo?

Para entender como o gráfico de

f x = c x 1 + c 2 x 2

Varia conforme (   c   ) muda, vamos examinar o comportamento da função e identificar os pontos de máximo, mínimo e inflexão.

Limites quando (   x   ) tende a (   ±   ∞   ) :

Assim como antes, podemos calcular os limites quando (   x   ) tende a (   ±   ∞   ) .

Para esta função, quando (   x   ) tende a (   ±   ∞   ) ,   (   f x ) tende a zero, independentemente do valor de (   c   ) .

Isso ocorre porque o termo (   c 2 x 2 ) domina o denominador quando x   se torna grande o suficiente, tornando (   1 + c 2 x 2 )   muito maior do que (   c x   ) .

Comportamento dos pontos de máximo, mínimo e inflexão quando (   c   ) varia:

- Pontos Críticos: Para encontrar os pontos críticos, derivamos (   f x ) em relação a (   x   ) e igualamos a zero:

f ' x = c 1 - c 2 x 2 - c x ⋅ - 2 c 3 x 1 + c 2 x 2 2

Simplificando e resolvendo, obtemos os pontos críticos.

Passo 2

No entanto, para (   f ' x ) igualar a zero, o numerador deve ser zero:

c 1 - c 2 X 2 -   c x   ⋅ - 2 c 3 x =   0

c   -   c 3 X 2 +   2 c 4 x 2 =   0

  c 1   +   c 2 x 2 =   0  

Isso nos dá dois pontos críticos:

x = ± 1 c

Estes serão os pontos onde a função tem potenciais máximos ou mínimos.

Passo 3

- Pontos de Máximo e Mínimo: Para determinar se esses pontos são máximos ou mínimos, podemos usar o teste da segunda derivada.

A segunda derivada é:

  f ' ' x = c 3 3 c 2 x 2 - 1 1 + c 2 x 2 3

Avaliando em x = ± 1 / c , obtemos:

f ' ' ± 1 c = 2 c 3 1 + c 2 / c 2 3

= 2 c 3 1 + 1 3

= c 3 4

Se (   c   >   0   ) , então

f ' ' ± 1 c > 0

Indicando que esses pontos são mínimos.

Se (   c   <   0   ) , então

f ' ' ± 1 c < 0

Indicando que são máximos.

Passo 4

- Pontos de Inflexão: Para encontrar os pontos de inflexão, precisamos verificar onde a concavidade muda.

Como a segunda derivada é uma função par, não haverá pontos de inflexão.

Podemos traçar vários membros da família de curvas para diferentes valores de (   c   ) para visualizar melhor como a forma da curva muda. Podemos traçar para

(   c   =   1   ) ,   (   c   =   2   ) ,   (   c   =   0.5   ) ,   (   c   =   - 1   )

Isso nos ajudará a entender como a inclinação da curva muda com (   c   ) .

Passo 5

Esboço do gráfico:

Com base nessas observações, podemos esperar que o gráfico da função tenha uma série de comportamentos distintos, incluindo assíntotas verticais, pontos de máximo e mínimo, e diferentes padrões de concavidade, dependendo do valor de (   c   ) ,   como mostra o gráfico abaixo.

Quando c > 0 , a função tem uma concavidade voltada para cima, enquanto p a r a   c < 0 , a função tem uma concavidade voltada para baixo

Resposta

Vide a explicação.

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