Enunciado

Desenhe o conjunto A dado e calcule a área:

A é o conjunto do plano limitado pelas retas x = 1 , x = 4 , y = 0 e pelo gráfico de y = x .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente desenhar o conjunto A , que é definido como o conjunto do plano limitado pelas retas x = 1 , x = 4 , y = 0 e pelo gráfico de y = x . Isso quer dizer que temos uma função y = x que está sendo limitada pelas retas constantes x = 1 , x = 4 , y = 0 .

Então, basta a gente esboçar a função e as retas, para obtermos nossa região entre as curvas.

Além disso, vamos precisar calcular a área de A e para isso vamos usar a integral de área entre curvas:

A = ∫ a b f x - g x   d x

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar esboçando a nossa região:

Temos a reta x = 1 , em vermelho, a reta x = 4 em laranja, a curva y = x em cinza e o eixo x em azul, que representa y = 0 .

Repare que a região entre as curvas, pintada em amarelo, é a nossa região A e é dessa região que nós vamos calcular a área agora.

Passo 3

Usando a fórmula da integral de área, vista no passo 1 , vamos ter f x = x e g x = 0 (a função de cima menos a função de baixo). Além disso, repare que nossa região varia de x = 1 até x = 4 , de acordo com as retas verticais. Então, nosso intervalo de integração é a ,   b = [ 1 ,   4 ] .

Substituindo tudo, ficamos com:

A = ∫ a b f x - g x   d x

A =   ∫ 1 4 x   d x =   ∫ 1 4 x 1 2   d x

E integrando, temos:

2 3 . x 3 2 1 4

Aplicando os limites de integração:

2 3 4 3 2 - 1 3 2

= 14 3

Valeu, galera. Até a próxima! 😉

Resposta

Á r e a = 14 3

G r á f i c o   n o s   p a s s o s

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