Enunciado

Encontre a equação para a cônica que satisfaz as condições dadas.

46. Hipérbole, vértices ( - 1 ,     2 ) , ( 7 ,     2 ) , focos - 2 ,     2 , ( 8 ,     2 )

Passo 1

Tanto os vértices quanto os focos possuem coordenada y = 2 , o que significa que a equação da hipérbole será do tipo:

x 2 a 2 - ( y - 2 ) 2 b 2 = 1

Os focos e os vértices não estão simétricos entre si, o que significa que a hiperbole está transladada sobre o eixo x também, para encontrarmos o centro, basta calcularmos a distancia entre os vértices:

7 - - 1 = 8

E então dividimos por 2:

8 2 = 4

O centro então será ( 3 ,   2 ) , portanto:

a = 4

Agora sabemos o quanto o centro foi transladado para cima, e a equação se torna

( x - 3 ) 2 16 - ( y - 2 ) 2 b 2 = 1

Passo 2

Pela distância entre os focos podemos obter c também:

c = 8 - ( - 2 ) 2 = 5

Pela equação de c , basta substituir os valores que encontramos para calcular b 2 :

c 2 = a 2 + b 2

25 = 4 + b 2

b 2 = 21

Passo 3

A equação da hipérbole então será:

( x - 3 ) 2 16 - ( y - 2 ) 2 21 = 1

Resposta

( x - 3 ) 2 16 - ( y - 2 ) 2 21 = 1

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