Enunciado

Desenhe o sólido limitado pelo plano x + y + z = 1 e pelo paraboloide z = 4 - x 2 - y 2 e determine seu volume exato. (Utilize seu SCA para fazer esse desenho, para achar as equações das fronteiras da região de integração e para calcular a integral dupla.)

Passo 1

Essa é uma questão que teremos que recorrer a uma calculadora gráfica ou computador para fazer esboços e calcular a integral. Fazendo um esboço das duas superfícies:

Para achar as fronteiras da região de integração, vamos igualar as equações do paraboloide com o plano:

4 - x 2 - y 2 = 1 - x - y

Assim,

x 2 - x + y 2 - y - 3 = 0

Completando quadrados:

x - 1 2 2 + y - 1 2 2 - 3 - 1 4 - 1 4 = 0

Logo,

x - 1 2 2 + y - 1 2 2 = 7 2

Desta forma, o domínio de integração será o disco com centro 1 2 , 1 2 e raio 7 2 :

Passo 2

Isolando y como função de x na equação da circunferência:

y = 1 2 ± 7 2 - x - 1 2 2 = 1 2 ± 13 4 - x 2 + x

x varia no intervalo 1 2 - 7 2 , 1 2 + 7 2 . Portanto,

V = ∫ 1 2 - 7 2 1 2 + 7 2 ∫ 1 2 - 13 4 - x 2 + x 1 2 + 13 4 - x 2 + x 3 - x 2 - y 2 + x + y   d y   d x

Fazendo a integral no computador:

V = 49 π 8

Resposta

49 π 8

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