Enunciado

Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico.A sequência é limitada?

a n = cos ⁡ n

Passo 1

Tudo certo, pessoal? Bora resolver essa questão:

A primeira parte que precisamos definir é sobre o comportamento da sequência, ou seja, se ela está aumentando (crescente), diminuindo (decrescente) ou se seu comportamento é não monotônico.

Como sabemos uma sequência não monotônica é uma sequência em que não há uma tendência consistente de aumento ou diminuição ao longo do tempo. Nela, os elementos podem alternar entre aumentos e diminuições, ou podem permanecer relativamente constantes em certos períodos, sem uma direção clara.

Galerinha, uma função f x é dita monotônica se e somente se f ' ( x ) manter o mesmo sinal para todo x . Além disso, a função pode ser crescente se f x < f ( x + 1 ) para todo x e pode ser decrescente se f x > f ( x + 1 ) para todo x . Podemos tomar nossa sequência como uma função contínua para fazermos essa análise.

Outra forma de entender se uma função é crescente ou decrescente é compararmos os termos a n e o seu sucessor a n + 1 . A sequência pode ser crescente se a n   < a n + 1 para todo x e pode ser decrescente se a n   > a n + 1 para todo x .

No nosso caso, como sabemos bem o comportamento de cos ⁡ x e é facil de derivar, usaremos a estratégia de analisar o sinal da derivada.

A segunda pergunta que a questão nos trás é se a sequência é limitada, ou seja, se ela é limitada tanto superiormente quanto inferiormente, ou seja, valores de máximo e mínimos que a sequência não ultrapassa.

Vamos analisar passo a passo, então!

Passo 2

Vamos analisar o comportamento da função quanto ao crescimento ou decrescimento. No nosso caso, temos uma sequência muito conhecida. Vamos analisá-la como se fosse uma função contínua para fins de simplificação:

f x = cos ⁡ x

Analisamos o sinal da derivada para entendermos se ela cresce ou decresce. Para isso, vamos calcular a primeira derivada dela:

f x = cos ⁡ x   → f ' x = - s e n   x

Nesse caso, a derivada assume tanto sinal negativo quanto sinal positivo devido ao comportamento periódico da função s e n   x conforme os valores de x variam. Logo, ela não é monotônica.

Relembrando o gráfico de s e n   x :

O fato de termos - s e n   x só espelhará nosso gráfico, mas ela continuará oscilando e sendo não monotônica, então a n é não monotônica

Passo 3

Agora vamos analisar a segunda parte da sequência e entender se ela é limitada. Vejamos o gráfico de cos ⁡ n .

Essa sequência é limitada porque o máximo valor que ela assume é 1 e o mínimo é - 1 , como podemos ver pelo seu gráfico.

Então:

- 1 ≤ a n ≤ 1

Resposta

A sequência a n é limitada e não monotônica.

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