Enunciado

Mude de coordenadas retangulares para esféricas.

  1. ( 0 , - 2,0 )
  2. ( - 1,1 , - 2 )

Passo 1

E a, galera! Tudo certo?

Nossa questãozinha pede para mudarmos as coordenadas retangulares:

0 , - 2,0

E:

- 1,1 , - 2

Para coordenadas esféricas.

Ou seja, temos uma coordenada do tipo x , y , z e queremos transformá-la numa coordenada do tipo ( ρ , ϕ , θ ) .

Pra resolver essa questão não tem mistério. Basta nos lembrarmos do conceito de coordenadas esféricas para correlacionarmos com os pontos em coordenadas retangulares equivalentes.

As relações entre coordenadas esféricas ρ , ϕ , θ e coordenadas retangulares x , y , z são dadas da seguinte forma:

x = ρ sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ y = ρ sen ⁡ ϕ sen ⁡ θ z = ρ cos ⁡ ϕ

De maneira inversa, temos que:

ρ = x 2 + y 2 + z 2 cos ⁡ ϕ = z ρ cos ⁡ θ = x ρ sen ⁡ ϕ

Com essas relações em mãos, fazer essa transição fica bem simples.

Bora lá!

Passo 2

Letra a) x , y , z = ( 0 , - 2,0 )  

Vamos começar encontrando a variável ρ . A transformação dela para coordenadas retangulares é:

ρ = x 2 + y 2 + z 2

E como temos todas as coordenadas retangulares é só substituir:

ρ = 0 2 + - 2 2 + 0 2 = 2

Agora, sabendo o argumento ρ , podemos usar a relação da componente z com o ângulo ϕ :

z = ρ cos ⁡ ϕ

Assim temos:

c o s ϕ = z ρ = 0 2 = 0

Daí o ângulo que nos dá

c o s ϕ = 0

É

ϕ = π 2

E por fim para determinar o ângulo θ podemos usar tanto a coordenada x , quanto a y . Vou usar a coordenada x . A relação entre ela e os ângulos θ e ϕ é:

x = ρ   c o s θ s e n ϕ

Daí:

c o s θ = x ρ s e n ϕ

Substituindo o valor de ϕ que acabamos de encontrar:

c o s θ = 0 2 s e n π 2 = 0

Calculando o arco cosseno:

θ = π 2   o u   3 π 2

Mas como

y < 0

então a escolha correta é

θ = 3 π 2

Assim em coordenadas esféricas o ponto 0 , - 2,0 é

ρ , ϕ , θ = 2 , 3 π 2 , π 2

Certo? Vamos pra letra b? Então borá lá!

Passo 3

Letra b) x , y , z = - 1,1 , - 2

Vamos começar novamente encontrando a variável ρ . A transformação dela para coordenadas retangulares (como já vimos no passo anterior) é:

ρ = x 2 + y 2 + z 2

E como temos todas as coordenadas retangulares é só substituir:

ρ = ( - 1 ) 2 + 1 2 + ( - 2 ) 2 = 4 = 2

Agora, sabendo o argumento ρ , podemos usar a relação da componente z com o ângulo ϕ :

z = ρ cos ⁡ ϕ

Assim temos:

c o s ϕ = - 2 2

Daí o ângulo que nos dá c o s ϕ = - 2 2 é

ϕ = 3 π 4

E por fim para determinar o ângulo θ podemos usar tanto a coordenada x , quanto a y . Vou usar novamente a coordenada x . A relação entre ela e os ângulos θ e ϕ é:

x = ρ   c o s θ s e n ϕ

Daí:

c o s θ = x ρ s e n ϕ

Substituindo o valor de ϕ que acabamos de encontrar:

c o s θ = - 1 2 s e n 3 π 4 = - 1 2 2 2

Daí vamos precisar racionalizar pra gente tirar essa raiz do nosso denominador, saca só:

c o s θ = - 1 2   . 2 2 = - 2 2

Calculando o arco seno da função:

θ = 3 π 4   o u   5 π 4

Mas como x < 0 , e y > 0 então a escolha correta é

θ = 3 π 4

Assim em coordenadas esféricas o ponto - 1,1 , - 2 é

ρ , ϕ , θ = 2 , 3 π 4 , 3 π 4

Tudo bem até aqui? Vamos pra próxima questão?

Resposta

a ) 2 , 3 π 2 , π 2

b ) 2 , 3 π 4 , 3 π 4

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