Enunciado

Mude de coordenadas retangulares para esféricas.

  1. ( 0 , - 2,0 )
  2. ( - 1,1 , - sqrt(2) )

Passo 1

Letra a:

Vamos começar encontrando a variável rho . A transformação dela para coordenadas retangulares é:

rho = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)

E como temos todas as coordenadas retangulares é só substituir:

rho = sqrt(0^2 + (- 2)^2 + 0^2) = 2

Agora, sabendo o argumento rho , podemos usar a relação da componente z com o ângulo varphi :

z = rho cos varphi

Assim temos:

c o s varphi = (z)/(rho) = (0)/(2) = 0

Daí o ângulo que nos dá c o s varphi = 0 é (pi)/(2) .

E por fim para determinar o ângulo theta podemos usar tanto a coordenada x , quanto a y . Vou usar a coordenada x . A relação entre ela e os ângulos theta e varphi é:

x = rho c o s theta s e n varphi

Daí:

c o s theta = (x)/(rho s e n varphi) = (0)/(2 (s e n ((pi)/(2)))) = 0

theta = (pi)/(2) o u (3 pi)/(2)

Mas como y < 0 , então a escolha correta é theta = (3 pi)/(2) .

Assim em coordenadas esféricas o ponto (0 , - 2,0) é (2 , (3 pi)/(2) , (pi)/(2)) . Certo? Vamos pra letra b? Então borá lá!

Passo 2

Letra b:

Vamos começar novamente encontrando a variável rho . A transformação dela para coordenadas retangulares (como já vimos no passo anterior) é:

rho = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)

E como temos todas as coordenadas retangulares é só substituir:

rho = sqrt(( - 1 )^2 + (1)^2 + ( - sqrt(2) )^2) = sqrt(4) = 2

Agora, sabendo o argumento rho , podemos usar a relação da componente z com o ângulo varphi :

z = rho cos varphi

Assim temos:

c o s varphi = (- sqrt(2))/(2)

Daí o ângulo que nos dá c o s varphi = (- sqrt(2))/(2) é (3 pi)/(4) .

E por fim para determinar o ângulo theta podemos usar tanto a coordenada x , quanto a y . Vou usar novamente a coordenada x . A relação entre ela e os ângulos theta e varphi é:

x = rho c o s theta s e n varphi

Daí:

c o s theta = (x)/(rho s e n varphi) = (- 1)/(2 (s e n ((3 pi)/(4)))) = (- 1)/(2 ((sqrt(2))/(2)))

Daí vamos precisar racionalizar, saca só:

c o s theta = - (1)/(sqrt(2 )) . (sqrt(2))/(sqrt(2)) = - (sqrt(2))/(2)

theta = (3 pi)/(4) o u (5 pi)/(4)

Mas como x < 0 , e y > 0 então a escolha correta é theta = (3 pi)/(4) .

Assim em coordenadas esféricas o ponto (- 1 , 1 , - sqrt(2)) é (2 , (3 pi)/(4) , (3 pi)/(4)) .

Tudo bem até aqui? Vamos pra próxima questão?

Resposta

a ) (2 , (3 pi)/(2) , (pi)/(2))

b ) (2 , (3 pi)/(4) , (3 pi)/(4))

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