Enunciado

Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.

∫ - ∞ 6 r e r / 3   d r

Passo 1

A questão pede para verificarmos a convergência da integral imprópria e, se possível, calculá-la.

Como um dos limites de integração é infinito, essa é uma integral impropria do tipo 1. Trocando o limite infinito por t , obtemos a integral

∫ t 6 r e r / 3   d r

Devemos calculá-la e depois fazer t → - ∞ .

Passo 2

A integral acima é calculada usando integração por partes

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Chamando u = r e d v = e r / 3 d x , temos que d u = d r e v = 3 e r / 3 . Assim,

∫ t 6 r e r / 3   d r = 3 r e r / 3 t 6 - 3 ∫ t 1 e r / 3 d x = 3 r e r / 3 - 9 e r / 3 t 6

Portanto,

∫ t 6 r e r / 3   d r = 18 e 2 - 9 e 2 - 3 t e t / 3 + 9 e t / 3 = 9 e 2 - 3 t e t / 3 + 9 e t / 3

Passo 3

Sabemos que

lim t → - ∞ ⁡ e t / 3 = 0

Além disso,

lim t → - ∞ ⁡ t e t / 3 = lim t → - ∞ ⁡ t e - t / 3

Como se trata de uma indeterminação do tipo infinito sobre infinito, podemos aplicar a regra de L’Hospital. Assim,

lim t → - ∞ ⁡ t e t / 3 = lim t → - ∞ ⁡ t e - t / 3 = lim t → - ∞ ⁡ - 3 e - t / 3 = 0

Assim,

lim t → - ∞ ⁡ ∫ t 6 r e r / 3   d r = lim t → - ∞ ⁡ 9 e 2 - 3 t e t / 3 + 9 e t / 3 = 9 e 2

Resposta

9 e 2

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