Determinar a área sob a curva

y = 1 / raiz(4 - x)

no intervalo [0, 4) .

Passo 1

Uma integral representa a área sob a curva da dada função que está como o integrando. A integral imprópria possui o mesmo ideal, no entanto ela é representada por uma área indefinida, visto que o intervalo de integração possui pelo menos um valor em que a função não está definida.

Este exercício é um caso de integral imprópria, pois y não existe em x = 4 .

Por conta disso, a integral não pode ser resolvida diretamente, necessitando da aplicação de um limite e da substituição do intervalo de integração por um intervalo que conterá uma nova variável, esta que irá tender ao valor para o qual a função não é definida.

Passo 2

Dito isso, seguindo as dicas dadas tem-se:

A = ∫ 0 4 1 4 - x d x = l i m t → 4 - ∫ 0 t 1 4 - x d x

Aqui, a variável t tende a 4 - pelo fato de que a área se encontra à esquerda do ponto x = 4 .

Aplicando o método da substituição simples, podemos dizer que u = 4 - x , tal que d u = - d x e a integral se dará por:

∫ 1 u - d u = - 2 u

Retornando à variável original:

A = l i m t → 4 - - 2 4 - x | t 0

Substituindo os limites de integração:

A = - 2 l i m t → 4 - 4 - t - 4 = - 2 0 - 2

A = 4

Resposta

A = 4   u . a .

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