Enunciado

Determinar a área sob a curva

y = (1)/(sqrt(4 - x))

no intervalo [ 0 , 4 ) .

Passo 1

Uma integral representa a área sob a curva da dada função que está como o integrando. A integral imprópria possui o mesmo ideal, no entanto ela é representada por uma área indefinida, visto que o intervalo de integração possui pelo menos um valor em que a função não está definida.

Este exercício é um caso de integral imprópria, pois y não existe em x = 4 .

Por conta disso, a integral não pode ser resolvida diretamente, necessitando da aplicação de um limite e da substituição do intervalo de integração por um intervalo que conterá uma nova variável, esta que irá tender ao valor para o qual a função não é definida.

Passo 2

Dito isso, seguindo as dicas dadas tem-se:

A = int_0^4 (1)/(sqrt(4 - x)) d x = underset(t -> 4^-)(l i m) int_0^t (1)/(sqrt(4 - x)) d x

Aqui, a variável t tende a 4^- pelo fato de que a área se encontra à esquerda do ponto x = 4 .

Aplicando o método da substituição simples, podemos dizer que u = 4 - x , tal que d u = - d x e a integral se dará por:

int (1)/(sqrt(u)) (- d u) = - 2 sqrt(u)

Retornando à variável original:

A = underset(t -> 4^-)(l i m) [- 2 sqrt(4 - x)] | [[t],[0]]

Substituindo os limites de integração:

A = - 2 underset(t -> 4^-)(l i m) [sqrt(4 - t) - sqrt(4)] = (- 2) [0 - 2]

A = 4

Resposta

A = 4 u . a .

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