Enunciado

Investigar as integrais impróprias seguintes.

Passo 1

Uma integral representa a área sob a curva da dada função que está como o integrando. A integral imprópria possui o mesmo ideal, no entanto ela é representada por uma área indefinida, visto que o intervalo de integração possui pelo menos um valor em que a função não está definida.

Por conta disso, a integral não pode ser resolvida diretamente, necessitando da aplicação de um limite e da substituição do intervalo de integração por um intervalo que conterá uma nova variável, esta que irá tender ao valor para o qual a função não é definida.

Passo 2

Dito isso, seguindo as dicas dadas tem-se:

int_(- oo)^(oo) (4 x^3)/((x^4 + 3)^2) d x

Para os casos em que o intervalo de integração possui ambos os extremos infinitos, deve-se dividir a integral original em duas integrais intermediárias separadas em zero. Assim, ela resultará em:

underset(a -> - oo)(lim) int_a^0 (4 x^3)/((x^4 + 3)^2) d x + underset(b -> oo)(l i m) int_0^b (4 x^3)/((x^4 + 3)^2) d x

Agora, para resolver as integrais, basta utilizar o método da substituição simples, tal que u = x^4 + 3 e d u = 4 x^3 d x . Então:

int (1)/(u^2) d u = - (1)/(u)

Substituindo para a variável original, obtém-se:

= - underset(a -> - oo)(lim) [(1)/(3) - (1)/(a^4 + 3)] - underset(b -> oo)(l i m) [(1)/(b^4 + 3) - (1)/(3)] = 0

Passo 3

Ainda, dependendo do resultado da integral imprópria é possível tirar duas conclusões sobre o seu comportamento: caso o resultado seja um número inteiro, então o limite existe e a integral converge (é convergente); caso contrário e ela resulte em +- oo , o limite não existe e a integral diverge (é divergente).

Para este caso, o limite existe e, logo, a integral é convergente.

Resposta

int_(- oo)^(oo) (4 x^3)/((x^4 + 3)^2) d x = 0

A integral é convergente.

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