Investigar as integrais impróprias seguintes.

Passo 1

Uma integral representa a área sob a curva da dada função que está como o integrando. A integral imprópria possui o mesmo ideal, no entanto ela é representada por uma área indefinida, visto que o intervalo de integração possui pelo menos um valor em que a função não está definida.

Por conta disso, a integral não pode ser resolvida diretamente, necessitando da aplicação de um limite e da substituição do intervalo de integração por um intervalo que conterá uma nova variável, esta que irá tender ao valor para o qual a função não é definida.

Passo 2

Dito isso, seguindo as dicas dadas tem-se:

∫ - ∞ ∞ 4 x 3 x 4 + 3 2 d x

Para os casos em que o intervalo de integração possui ambos os extremos infinitos, deve-se dividir a integral original em duas integrais intermediárias separadas em zero. Assim, ela resultará em:

lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 0 4 x 3 x 4 + 3 2 d x + l i m b → ∞ ∫ 0 b 4 x 3 x 4 + 3 2 d x

Agora, para resolver as integrais, basta utilizar o método da substituição simples, tal que u = x 4 + 3 e d u = 4 x 3 d x . Então:

∫ 1 u 2 d u = - 1 u

Substituindo para a variável original, obtém-se:

= - lim a → - ∞ ⁡ 1 3 - 1 a 4 + 3 - l i m b → ∞ 1 b 4 + 3 - 1 3 = 0

Passo 3

Ainda, dependendo do resultado da integral imprópria é possível tirar duas conclusões sobre o seu comportamento: caso o resultado seja um número inteiro, então o limite existe e a integral converge (é convergente); caso contrário e ela resulte em ± ∞ , o limite não existe e a integral diverge (é divergente).

Para este caso, o limite existe e, logo, a integral é convergente.

Resposta

∫ - ∞ ∞ 4 x 3 x 4 + 3 2 d x = 0

A integral é convergente.

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