Enunciado

Determinar as curvas coordenadas das superfícies dadas, nos pontos indicados:.

  1. Esfera

r → u . v = ( cos ⁡ u cos ⁡ v , s en ⁡ u cos ⁡ v , s en ⁡ v )

0 ≤ u ≤ 2 π ,       - π 2 ≤ v ≤ π 2 no ponto P 1 2 , 1 2 , 2 2 .

Passo 1

Beleza galeraa!!

Sabemos que:

x = cos ⁡ u cos ⁡ v

y = sen ⁡ u cos ⁡ v

z = sen ⁡ v

No ponto dado:

z = sen ⁡ v = 2 2

v = π 4

Olhando para y:

y = sen ⁡ u cos ⁡ v = 1 2

sen ⁡ u cos ⁡ π 2 = 1 2

sen ⁡ u 2 2 = 1 2 →   sen ⁡ u = 2 2

u = π 4

Shoow !!

Agora vamos guardar esta informação!

Passo 2

Para a u-curva, teremos r → u , π 4 :

r → u . π 4 = cos ⁡ u cos ⁡ π 4 , sen ⁡ u cos ⁡ π 4 , sen ⁡ π 4

Substituindo:

r → u . π 4 = 2 2 cos ⁡ u , 2 2 sen ⁡ u , 2 2

Com u variando normalmente:

0 ≤ u ≤ 2 π

Para a v-curva, teremos r → π 4 , v :

r → π 4 , v = cos ⁡ π 4 cos ⁡ v , sen ⁡ π 4 cos ⁡ v , sen ⁡ v

Substituindo:

r → π 4 , v = 2 2 cos ⁡ v , 2 2 co s ⁡ v , sen ⁡ v

Com v variando normalmente:

- π 2 ≤ v ≤ π 2

E é isso aí, galera !!

Resposta

r → u . π 4 = 2 2 cos ⁡ u , 2 2 sen ⁡ u , 2 2

r → π 4 , v = 2 2 cos ⁡ v , 2 2 cos ⁡ v , sen ⁡ v

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Seja S uma superfície descrita pela equação r → u . v = ( 2 . cos ⁡u . cos ⁡v , 2 . sen ⁡ u . cos ⁡v ,2 . s e n( v ) ) onde 0 ≤ u ≤ π 2 e 0 ≤ v ≤ π 2 . Determinar os vetores ∂ r → ∂ u P , ∂ r → ∂ v P
Parametrizar as seguintes superfícies, determinando as curvas coordenadas, nos pontos indicados:Cilindro x 2 + y 2 = 9 ; P 3 ,0 ,4 .
Parametrizar as seguintes superfícies, determinando as curvas coordenadas, nos pontos indicados:Cone x 2 + z 2 - y 2 = 0 ; y ≥ 0 ;P 2 ,13 , 3 .
Determinar um campo normal unitário do plano que passa nos pontos 1,0 , 0 , ( 0,1 , 0 ) e 0,0 , 1 , usando as seguintes parametrizações r → u , v = u i ^ + v j ^ + 1 - u - v k ^
Determinar um campo normal unitário do plano que passa nos pontos 1,0 , 0 , ( 0,1 , 0 ) e 0,0 , 1 , usando as seguintes parametrizações r → u , v = u + v i ^ + u - v j ^ + 1 - 2 u k ^