Enunciado

Determinar dois vetores unitários para os quais a derivada direcional de f no ponto dado é zero.

b) f x , y = x x + y , P 3,2

Passo 1

Para acharmos a derivada na direção do vetor v → vamos usar aquela relação lá da teoria, se liga só:

∂ f ∂ v x , y = ∇ f x , y ⋅ v v

Passo 2

Agora vamos encontrar o gradiente de f . Para isso, vamos fazer o seguinte:

∇ f x , y = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j →

Substituindo a expressão de f :

∇ f x , y = ∂ x x + y ∂ x i → + ∂ x x + y ∂ y j →

Derivando parcialmente:

∇ f x , y = 1 × x + y - x × 1 x + y 2 i → + - x x + y 2 × 1 j →

Simplificando:

∇ f x , y = y x + y 2 i → - x x + y 2 j →

Para o ponto 3,2 :

∇ f 3,2 = 2 3 + 2 2 i → - 3 3 + 2 2 j →

Fazendo as contas:

∇ f 3,2 = 2 25 i → - 3 25 j →

Reescrevendo,

∇ f 3,2 = 1 25 3,2

Passo 3

Voltando para formula do Passo 1, temos:

∂ f ∂ v 3,2 = ∇ f 3,2 ⋅ v v

Como queremos vetores unitários, então v = 1 e que a derivada direcional no ponto 3,2 seja nula. Além disso, sabemos que ∇ f 3,2 = 1 25 3,2 . Assim,

0 = 1 25 3,2 ⋅ v 1

Simplificando:

3,2 ⋅ v = 0

Considerando v = a , b :

3,2 ⋅ a , b = 0

Fazendo o produto escalar:

3 a + 2 b = 0 → a = - 2 b 3

Portanto,

v = - 2 b 3 , b

Passo 4

Como o vetor v possui módulo 1, temos o seguinte:

- 2 b 3 2 + b 2 = 1

Isto é,

13 b 2 9 = 1

Tirando o termo b 2 / 9 da raiz:

b 3 13 = 1 → b = ± 3 13

Para b = 3 13 :

v 1 = - 2 13 , 3 13

E para a = - 3 13 :

v 2 = 2 13 ,   - 3 13

Resposta

v 1 = - 2 13 , 3 13 ;   v 2 = 2 13 ,   - 3 13

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