Enunciado

Determinar dois vetores unitários para os quais a derivada direcional de f no ponto dado é zero.

c) f x , y = e 2 x + y , P 1 , 0

Passo 1

Para acharmos a derivada na direção do vetor v → vamos usar aquela relação lá da teoria, se liga só:

∂ f ∂ v x , y = ∇ f x , y ⋅ v v

Passo 2

Agora vamos encontrar o gradiente de f . Para isso, vamos fazer o seguinte:

∇ f x , y = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j →

Substituindo a expressão de f :

∇ f x , y = ∂ e 2 x + y ∂ x i → + ∂ e 2 x + y ∂ y j →

Derivando parcialmente:

∇ f x , y = 2 × e 2 x + y i → + 1 × e 2 x + y j →

Simplificando nossa expressão:

∇ f x , y = 2 e 2 x + y   i → + e 2 x + y   j →

Para o ponto 1,0 :

∇ f 1,0 = 2 e 2   i → + e 2   j →

Reescrevendo:

∇ f 1,0 = e 2 2,1

Passo 3

Voltando para formula do Passo 1, temos:

∂ f ∂ v 1,0 = ∇ f 1,0 ⋅ v v

Como queremos vetores unitários, então v = 1 e que a derivada direcional no ponto 1,0 seja nula. Além disso, sabemos que ∇ f 1,0 = e 2 2,1 .   Assim,

0 = e 2 2,1 ⋅ v 1

Simplificando:

2 , 1 ⋅ v = 0

Considerando v = a , b :

2,1 ⋅ a , b = 0

Fazendo o produto escalar:

2 a + b = 0 → b = - 2 a

Portanto,

v = a , - 2 a

Passo 4

Como o vetor v possui módulo 1, temos o seguinte:

a 2 + - 2 a 2 = 1

Isto é,

5 a 2 = 1

Tirando o termo a 2 da raiz:

a 5 = 1 → a = ± 1 5

Para b = 1 5 :

v 1 = 1 5 , - 2 5

E para a = - 1 5 :

v 2 = - 1 5 ,   2 5

Resposta

v 1 = 1 5 , - 2 5 ;   v 2 = - 1 5 ,   2 5

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