Enunciado

Em que direção devemos nos deslocar partindo de Q 1,1 , 0 para obter a taxa de maior decréscimo da função f x , y = 2 x + y - 2 2 + 5 x - 2 y 2 ?

Passo 1

A ideia nessa questão é lembrar que a direção de maior taxa de crescimento é a do vetor gradiente, mas como queremos a de maior decréscimo basta pegarmos a direção oposta a do vetor gradiente.

∇ f x , y = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j →

Então vamos começar encontrando o gradiente de f .

Passo 2

Substituindo a expressão de f x , y na formula do gradiente:

∇ f x , y = ∂ 2 x + y - 2 2 + 5 x - 2 y 2 ∂ x i → + ∂ 2 x + y - 2 2 + 5 x - 2 y 2 ∂ y j →

Derivando parcialmente com relação a x :

∂ 2 x + y - 2 2 + 5 x - 2 y 2 ∂ x = 2 × 2 x + y - 2 × 2 + 2 × 5 x - 2 y × 5

Simplificando:

∂ 2 x + y - 2 2 + 5 x - 2 y 2 ∂ x = 4 2 x + y - 2 + 10 5 x - 2 y

Em relação a y , temos:

∂ 2 x + y - 2 2 + 5 x - 2 y 2 ∂ y = 2 × 2 x + y - 2 × 1 + 2 × 5 x - 2 y × - 2

Portanto,

∂ 2 x + y - 2 2 + 5 x - 2 y 2 ∂ y = 2 2 x + y - 2 - 4 5 x - 2 y

Passo 3

Então o nosso vetor gradiente fica o seguinte:

∇ f x , y = 4 2 x + y - 2 + 10 5 x - 2 y i → + 2 2 x + y - 2 - 4 5 x - 2 y j →

Para o ponto Q 1,1 , 0 :

∇ f 1,1 = 4 2 × 1 + 1 - 2 + 10 5 × 1 - 2 × 1 i → + 2 2 × 1 + 1 - 2 - 4 5 × 1 - 2 × 1 j →

Fazendo as contas:

∇ f 1,1 = 34   i → - 10 j →

Mas lembra que a gente queria o vetor na direção oposta ao do gradiente, então basta multiplicarmos por - 1 . Assim,

v → = - 34   i → + 10 j →

Resposta

v → = - 34   i → + 10 j →

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