Enunciado

Resolver o exercício 62 supondo que a temperatura seja dada por:

T x ,   y = 1 2 x 2 + y 2 - 100

Passo 1

Vamos repetir o que fizemos na anterior. Ele fala sobre a direção em que a temperatura esquenta e diminui o mais rápido possível. Se ele está falando em direção de máximo crescimento (e também máximo crescimento pra diminuir, no caso do resfriamento, só pode estar falando em uma coisa: derivada direcional! A direção de máximo crescimento da temperatura é aquela em que a derivada tem o maior módulo, sacou? Pra calcular a derivada direcional do campo, a primeira coisa que vamos ter que fazer é calcular o gradiente desse campo. Bom, isso a gente sabe fazer, né? Se a nossa função for f → , o gradiente vai ser dado por:

g r a d   f → = ∇ f → = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j → + ∂ f ∂ z k →

Aqui a gente não tem f , mas tem o T ( x , y ) , que também é uma função, igualzinho ao f hahah Pra facilitar, vamos até dizer que T ( x ,   y ) = f → e resolver com essa letra.

g r a d   T ( x ,   y ) = ∇ f → = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j →

Outra coisa, galera: geometricamente, a direção de esquentar e de esfriar mais rapidamente é a mesma, só muda o sentido que ele está andando!

Passo 2

Bora lá! A função é:

f x ,   y = 1 2 x 2 + y 2 - 100

Calculando as derivadas parciais:

∂ f ∂ x = x

∂ f ∂ y = y

Assim,

∇ f → = x i → + y j →

Passo 3

Bom, esse é o gradiente da função:

∇ f → = x i → + y j →

E esse gradiente é uma função r ' → t , cujas componentes são as derivadas da trajetória dele em x e y :

r ' → t = ∇ f r → t

d x d t , d y d t = ( x ,   y )

Isso dá um sistema!

d x d t = x ( t ) d y d t = y ( t )

Resolvendo,

x t = C 1 e t y t = C 2 e t

A partícula P 1 estava inicialmente em ( 1 ,   1 ) , e P 2 está em ( 3 ,   7 ) , ou seja, em t = 0 .

Para P 1 :

x 0 = C 1 = 1 y 0 = C 2 = 1

Portanto, a trajetória r 1 ( t ) é dada por:

r 1 t = e t ,   e t

Então essa trajetória é do tipo y = x . Como o x só vai até 10 , então o intervalo da trajetória é 1 ≤ x ≤ 10 , já que ele começa em x = 1 e vai até x = 10 . Com isso encontramos a resposta da letra (b)!

Para P 2 :

x 0 = C 1 = 3 y 0 = C 2 = 7

Portanto, a trajetória r 2 ( t ) é dada por:

r 2 t = 3 e t , 7 e t

Então essa trajetória segue a direção de y = 7 x 3 .

Desenhando as trajetórias, podemos ver que elas não se encontram. Ué, mas e o desenho? Tá se encontrando na origem! Sim, se ele fosse completo, mas não se esquece que o x da reta y = x (azul) só começa em 1 , e por isso, não vai passar realmente pela origem.

Resposta

a) Não se encontram.

b) y = x ,   x ∈ [ 1 ,   10 ]

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