Enunciado

A figura 6.24 mostra uma plataforma retangular cuja temperatura em cada ponto é dada por T x ,   y = 2 x + y . Um indivíduo encontra-se no ponto P 0 dessa plataforma e necessita esquentar-se o mais rápido possível. Determinar a trajetória (obter uma equação) que o indivíduo deve seguir, esboçando-a sobre a plataforma.

Passo 1

Bom, ele quer saber a direção em que a temperatura aumenta o mais rápido possível. Se ele está falando em direção de máximo crescimento, só pode estar falando em uma coisa: derivada direcional! A direção de máximo crescimento da temperatura é aquela em que a derivada tem o maior módulo, sacou? Pra calcular a derivada direcional do campo, a primeira coisa que vamos ter que fazer é calcular o gradiente desse campo. Bom, isso a gente sabe fazer, né? Se a nossa função for f → , o gradiente vai ser dado por:

g r a d   f → = ∇ f → = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j → + ∂ f ∂ z k →

Aqui a gente não tem f , mas tem o T ( x , y ) , que também é uma função, igualzinho ao f hahah Pra facilitar, vamos até dizer que T ( x ,   y ) = f → e resolver com essa letra.

g r a d   T ( x ,   y ) = ∇ f → = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j →

Passo 2

Bora lá! A função é:

f x ,   y = 2 x + y

Calculando as derivadas parciais:

∂ f ∂ x = 2

∂ f ∂ y = 1

Assim,

∇ f → = 2   i → +   j →

Passo 3

Bom, esse é o gradiente da função:

∇ f → = 2   i → +   j →

E esse gradiente é uma função r ' → t , cujas componentes são as derivadas da trajetória dele em x e y :

r ' → t = ∇ f r → t

d x d t , d y d t = ( 2 ,   1 )

Isso dá um sistema!

d x d t = 2 d y d t = 1

Resolvendo,

x t = 2 t + C 1 y t = t + C 2

Ele estava inicialmente em ( 2 ,   4 ) , como dá pra ver na figura, ou seja, quando t = 0 . Assim:

x 0 = C 1 = 2 y 0 = C 2 = 4

Portanto, a trajetória r ( t ) é dada por:

r t = 2 t + 2 ,   t + 4

E é claro que só serve pra t ≥ 0 , porque não dá pro tempo voltar pra trás, né? Além disso, pra ele não sair da placa. O x máximo da placa é 4 , e o y máximo é 6 . Assim:

2 t + 2 ≤ 4 t + 4 ≤ 6 → t ≤ 1 t ≤ 2

Por isso, o nosso intervalo mais reduzido é:

0 ≤ t ≤ 1

Fechou!

Resposta

r t = 2 t + 2 ,   t + 4 ,   0 ≤ t ≤ 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre. f x , y = 4 y x , 4 ,1
Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre. f s , t = t e s t , 0 ,2
Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre. f p , q ,r = arctan ⁡ ( p q r ) , 1 ,2 ,1
Um mapa topográfico de Blue River Pine Provincial Park em British Columbia é mostrado. Desenha as curvas da descida mais íngreme do ponto A (descendo até o Mud Lake) e do ponto B .
14.25. Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção e sentido em que isso ocorre. f x , y , z = ln ⁡ x y 2 z 3 , ( 1 ,- 2 ,- 3 )