Enunciado

Determine uma equação do plano tangente à superfície parametrizada dada no ponto especificado.

r u , v = s e n ( u ) i ⃑ + c o s ⁡ ( u ) s e n v j ⃑ + s e n ( v ) k ⃑ ;   u = π 6 , v = π 6

Passo 1

Temos do exercício

r u , v = s e n ( u ) i ⃑ + c o s ⁡ ( u ) s e n v j ⃑ + s e n ( v ) k ⃑

Onde

r π 6 , π 6 = 1 2 i ⃑ + 3 4 j ⃑ + 1 2 k ⃑

O primeiro vetor tangente a curva no ponto será quando derivarmos r por exemplo em relação a v.

r v = ∂ x ∂ v u o , v o i ⃑ + ∂ y ∂ v u o , v o j ⃑ + ∂ z ∂ v u o , v o k ⃑

r v = ∂ ( s e n ( u ) ) ∂ v π 6 , π 6 i ⃑ + ∂ ( cos ⁡ u s e n v ) ∂ v π 6 , π 6 j ⃑ + ∂ ( s e n v ) ∂ v π 6 , π 6 k ⃑

r v = 0 i ⃑ + cos ⁡ u cos ⁡ v π 6 , π 6 j ⃑ + cos ⁡ v π 6 , π 6 k ⃑

r v = cos ⁡ π 6 cos ⁡ π 6 j → + cos ⁡ π 6 k ⃑ = 3 4 j ⃑ + 3 2 k ⃑

O outro vetor tangente será quando derivarmos em relação a u.

r u = ∂ ( s e n ( u ) ) ∂ u π 6 , π 6 i ⃑ + ∂ ( cos ⁡ u s e n v ) ∂ u π 6 , π 6 j ⃑ + ∂ ( s e n v ) ∂ u π 6 , π 6 k ⃑

r u = cos ⁡ u π 6 , π 6 i → - s e n u s e n v π 6 ,   π 6 j → + 0 k →

r u = cos ⁡ π 6 i → - s e n π 6 s e n π 6 j →

r u = 3 2 i → - 1 4 j →

Passo 2

Logo

r u × r v = 3 2 i → - 1 4 j → × 3 4 j ⃑ + 3 2 k ⃑

r u × r v = i j k 3 / 2 - 1 / 4 0 0 3 / 4 3 / 2 = - 3 8 i → - 3 4 j → + 3 3 8 k →

Passo 3

Logo o plano que é tangente a o vetor no ponto   r π 6 , π 6 = 1 2 i ⃑ + 3 4 j ⃑ + 1 2 k ⃑ e perpendicular á r u × r v será.

- 3 8 i ⃑ x - 1 2 - 3 4 y - 3 4 + 3 3 8 z - 1 2 = 0

Que de forma reduzida ficará.

3 x + 6 y - 3 3   z = 3 2

Resposta

3 x + 6 y - 3 3   z = 3 2

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