Enunciado

Determinar o momento de inércia de uma barra homogênea de 3m de comprimento, em relação a um eixo perpendicular que:

(a) passa no ponto médio da barra;(b) passa por uma das extremidades da barra.

Considerar a densidade linear da barra igual a 0,8 kg/m.

Passo 1

O momento de inércia I de uma barra homogêna, de seção transversal (espessura) desprezível, é definido pela seguinte expressão:

I = ∫ 0 L r ( x ) 2 ∙ λ ( x ) ∙ d x

Em que L é o comprimento da barra, λ ( x ) é a densidade linear da barra, r ( x ) é a distância da posição do eixo de rotação a um ponto x qualquer ( x ' - x ) , e d x é o infinitésimo da distância x .

Resolvendo essa integral, para os casos em que a densidade linear é constante, e em que o eixo passa no ponto médio da barra e nas extremidades, temos, respectivamente:

I = M L 2 12

I = M L 2 3

Passo 2

Não temos o valor da massa M da barra, mas temos seu comprimento L = 3   m , e sua densidade λ = 0,8   k g / m , o que resolve nosso problema, já que esses três estão correlacionados da seguinte forma:

λ = M L

Logo, temos que M = λ ∙ L ≡ 0,8 ∙ 3 = 2,4   k g . Já somos capazes de calcular os momentos de inércia!

Passo 3

(a) I = M L 2 12  

I = 2,4 ∙ 3 2 12

∴ I = 1,8   k g ∙ m 2

Passo 4

(b) I = M L 2 3

I = 2,4 ∙ 3 2 3

∴ I = 7,2   k g ∙ m 2

Resposta

(a) ∴ I = 1,8   k g ∙ m 2

(b) ∴ I = 7,2   k g ∙ m 2

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