Enunciado

Encontrar a massa total e o centro de massa de uma barra de comprimento 3 m, se a densidade linear da barra, num ponto situado a x m do extremo, é 5 x 2 + 3   k g / m .

Passo 1

A densidade linear λ de um corpo, como a barra, é definida pela seguinte expressão:

λ = M L

Onde M é a massa do corpo e L seu comprimento. Também podemos escrever isso na forma de infinitésimos de massa, d m , e de comprimento, d x , assim:

λ = d m d x

Isolando d m , cujo valor integrado é o que nos interessa ( a massa), teremos:

d m = λ ∙ d x

Passo 2

Integrando ambos os lados da sentença anterior, tendo como limite de integração o intervalo de 0 a 3 m, temos:

M = ∫ 0 3 λ ∙ d x

No lugar de λ a gente coloca a função que ele representa: 5 x 2 + 3 , e integramos. Vamos ter:

M = ∫ 0 3 5 x 2 + 3 ∙ d x

M = 5 3 ∙ x 3 + 3 x 0 3

M = 5 3 ∙ 27 + 9

∴ M = 54   k g

Passo 3

O centro de massa, x - , é dado a partir da seguinte integral:

x - = 1 M ∙ ∫ x ∙ λ ∙ d x

Pro nosso caso, em que conhecendo a função que descreve λ , e o limite de integração, teremos:

x - = 1 M ∙ ∫ 0 3 x ∙ ( 5 x 2 + 3 ) ∙ d x

x - = 1 5 4 ∙ ( 5 4 x 4 + 3 2 ∙ x 2 ) 0 3

x - = 1 5 4 ∙ ( 5 4 3 3 + 3 2 ∙ 3 2 )

∴ x - ≅ 2,1   c m

Resposta

∴ M = 54   k g

∴ x - ≅ 2,1   c m

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

26. O seguinte teorema é uma generalização do Teorema do valor médio para integrais: se f e g forem contínuas no intervalo fechado [ a , b ] e g x0 para todo x no intervalo aberto ( a , b ) , então ex
Suponha que f x0 e contínua em um intervalo [a,b]. Prove que ∫ a b f x d x0
Suponha f x0 e contínua em[a,b]. Prove que se ∫ a b f x d x = 0 , então f x = 0 , para todo x ∈ [ a , b ]
Se f x = x + 2 x - 3 , ache a média dos valores de f no intervalo 4,6 .
Se f x = 1 x , ache a média dos valores de f no intervalo 1,5 .