Enunciado

Encontrar o polinômio de Taylor de grau n no ponto c e escrever a função que define o resto na forma de Lagrange, das seguintes funções:

y = t g x ,   n = 3 ,   c = π

Passo 1

O polinômio de Taylor de ordem n no ponto c é obtido assim:

P n x = f c + f ' c x - c + f ' ' c 2 ! x - c 2 + … + f n c n ! x - c n

Além disso, o resto na forma de Lagrange, como a gente viu, fica assim:

R n x = f n + 1 z n + 1 ! x - c n + 1

A parte mais trabalhosa é essa de ter que calcular todas as derivadas, mas o aluno Responde Aí não tem medo de conta, então bora lá!

Passo 2

Primeiro vamos calcular todas as derivadas: não vou explicar passo a passo, mas com tudo que aprendemos até aqui vai ficar bem mastigadinho, fica tranquilo. Em vez do y que ele deu no enunciado, como essa parada é função de x , vamos manter o f ( x ) , ok? Não esquece da regra da cadeia! Vamos até a derivada de grau 3 , já que queremos o Taylor dessa ordem.

f x = t g ( x )

f ' x = sec 2 ⁡ x

f 2 ' x 2 ! = 1 2 × 2 t g x sec 2 ⁡ x

f 3 ' x 3 ! = 1 6 × 2 sec 2 ⁡ x 2 t g 2 x + sec 2 ⁡ x

Então o polinômio de Taylor vai ser:

P 3 x = t g ( c ) + sec 2 ⁡ ( c ) x - c + 2 t g c sec 2 ⁡ ( c ) 2 x - c 2 + 2 sec 2 ⁡ x 2 t g 2 x + sec 2 ⁡ x 6 x - c 3

Passo 3

No ponto c = π :

P 3 x = t g ( π ) + sec 2 ⁡ ( π ) x - π + 2 t g π sec 2 ⁡ ( π ) 2 x - π 2 + 2 sec 2 ⁡ π 2 t g 2 π + sec 2 ⁡ π 6 x - π 3

Em c = 0 , t g ( π ) = 0 e s e c π = - 1 , então:

P 3 x = ( x - π ) + ( x - π ) 3 3

Passo 4

E agora para o resto, falta só a gente achar a derivada de ordem 4 . Já temos a de ordem 3 :

f 3 ' x = 2 sec 2 ⁡ x 2 t g 2 x + sec 2 ⁡ x

Derivando,

f 4 ' ( x ) = 8 t g x sec 2 ⁡ x t g 2 x + 2 sec 2 ⁡ x

Então o resto vai ser:

R 3 x = 8 t g z sec 2 ⁡ z t g 2 z + 2 sec 2 ⁡ z 3 + 1 ! x - π 4

Que fica:

R 3 x = 8 t g z sec 2 ⁡ z t g 2 z + 2 sec 2 ⁡ z 24 x - π 4

Resposta

Em c = π :

P 3 x = ( x - π ) + ( x - π ) 3 3

R 3 x = 8 t g z sec 2 ⁡ z t g 2 z + 2 sec 2 ⁡ z 24 x - π 4

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