Faça o gráfico da curva y = x - x^(2/3) - 3

Passo 1

Inicialmente vamos considerar y = f ( x ) e observar o que essa função tem a nos “dizer”.

f ( x ) =   x - 3 x 2 3

Observe que o domínio de f ( x ) corresponde ao conjunto dos números Reais, isso porque não há nenhum valor para x que apresente indeterminações ou fatos inexistentes(raízes quadradas negativas, logaritmos de números negativos, entre outros...)

Sendo assim, o gráfico de f ( x ) não está limitado “dentro” de nenhum intervalo.

Passo 2

Em seguida verificaremos, se f x possui raízes, ou seja, se o gráfico toca o eixo x .

Com isso percebemos que para x = 0   e x = 27 , temos que f x = 0 , ou seja,

f 0 = x - 3 x 2 3 = 0 - 3 . 0 2 3 = 0 - 0 = 0

E,

f 27 =   27 - 3 27 2 3 = 27 - 3 .   9 = 27 - 27 = 0

Logo, o gráfico de f ( x ) toca o eixo x duas vezes.

Passo 3

Determinaremos agora f ' ( x ) e f ' ' ( x ) , para em seguida verificarmos se f ( x ) possui máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Dessa maneira temos que,

Pela regra da diferença,

f ' x = x - 3 x 2 3

= 1 - 3 2 3   x 2 3 - 1

= 1 - 2 x - 1 3

Calculando a segunda derivada utilizando a regra da diferença

f ' ' x = - 2 - 1 3 x - 1 3 - 1

= - 2 - 1 3 x - 4 3

= 2 3 x - 4 3

Passo 4

Vamos agora identificar se f ( x ) possui pontos críticos

Em relação aos pontos de críticos temos que

f ' x = 1 - 2 x - 1 3 = f ' x = 1 - 2 x 1 3 = 0

⇒ 1 = 2 x 1 3   ⇒ x 1 3 = 2

⇒ x = 2 3 1 = 2 3 = 8

Sendo assim temos um candidato à ponto crítico, vamos verificar se qual a mudança de sinal nas proximidades dele.

Perceba que para valores dentro do intervalo ( 0,8 ) x = 8   , f ( x ) irá assume valores negativos (decrescentes). Já para valores dentro do intervalo ( 8 , + ∞ ) x = 8   , f ( x ) irá assumir valores positivos (crescente). Logo, x = 8 é um ponto de mínimo no intervalo de ( 0 , ∞ ) .

Passo 5

Vamos agora identificar se f ( x ) possui pontos de inflexão

Em relação aos pontos de inflexão temos que

f ' ' x = 2 3 x - 4 3 = 0

⇒ x - 4 3 = 0 ⇒ x = 0

Sendo assim temos um candidato a ponto de inflexão, vamos verificar se há mudança de sinal nas proximidades deles.

Perceba que , para valores dentro do intervalo ( - ∞ , 0 )     x = 0   , f ( x ) assume valores positivos(concavidade para cima). E para valores dentro do intervalo ( 0 , + ∞ )     x = 0     , f ( x ) irá assumir valores positivos (concavidade para cima). Logo, x = 3 2 é um ponto de inflexão no intervalo de ( - ∞ , + ∞ ) .

Sendo assim, x = 0   é um ponto de inflexão para f ( x ) , ou seja, há uma mudança de concavidade

Passo 6

Para finalizar verificaremos se f ( x ) possui assíntotas verticais ou horizontais.

No que se refere as assíntotas horizontais temos que

lim x → ∞ ⁡ f x = lim x → ∞ ⁡ f x = x - 3 x 2 3 = ∞

Logo, f x não possui assíntotas horizontais.

No que se refere as assíntotas verticais, não há nenhum ponto c   no domínio de f x que faça com que

lim x → - c ⁡ f x = l i m x → c f x = ± ∞

Logo,   f x não possui assíntotas verticais.

Resposta

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