Enunciado

Faça o gráfico da curva y = x - 3 x^((2)/(3))

Passo 1

Inicialmente vamos considerar y = f ( x ) e observar o que essa função tem a nos “dizer”.

f ( x ) = x - 3 x^((2)/(3))

Observe que o domínio de f ( x ) corresponde ao conjunto dos números Reais, isso porque não há nenhum valor para x que apresente indeterminações ou fatos inexistentes(raízes quadradas negativas, logaritmos de números negativos, entre outros...)

Sendo assim, o gráfico de f ( x ) não está limitado “dentro” de nenhum intervalo.

Passo 2

Em seguida verificaremos, se f (x) possui raízes, ou seja, se o gráfico toca o eixo x .

Com isso percebemos que para x = 0 e x = 27 , temos que f (x) = 0 , ou seja,

f (0) = x - 3 x^((2)/(3)) = (0) - 3 . (0)^((2)/(3)) = 0 - 0 = 0

E,

f (27) = 27 - 3 (27)^((2)/(3)) = 27 - 3 . 9 = 27 - 27 = 0

Logo, o gráfico de f ( x ) toca o eixo x duas vezes.

Passo 3

Determinaremos agora f ' ( x ) e f^(' ') ( x ) , para em seguida verificarmos se f ( x ) possui máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Dessa maneira temos que,

Pela regra da diferença,

f^' (x) = x - 3 x^((2)/(3))

= 1 - 3 (2)/(3) x^((2)/(3) - 1)

= 1 - 2 x^((- 1)/(3))

Calculando a segunda derivada utilizando a regra da diferença

f^(' ') (x) = - 2 (- (1)/(3)) x^((- 1)/(3) - 1)

= - 2 (- (1)/(3)) x^((- 4)/(3))

= (2)/(3) x^((- 4)/(3))

Passo 4

Vamos agora identificar se f ( x ) possui pontos críticos

Em relação aos pontos de críticos temos que

f^' (x) = 1 - 2 x^((- 1)/(3)) = f^' (x) = 1 - (2)/(x^((1)/(3))) = 0

=> 1 = (2)/(x^((1)/(3))) => x^((1)/(3)) = 2

=> x = (2)^((3)/(1)) = 2^3 = 8

Sendo assim temos um candidato à ponto crítico, vamos verificar se qual a mudança de sinal nas proximidades dele.

Perceba que para valores dentro do intervalo ( 0,8 ) x = 8 , f ( x ) irá assume valores negativos (decrescentes). Já para valores dentro do intervalo ( 8 , + oo ) x = 8 , f ( x ) irá assumir valores positivos (crescente). Logo, x = 8 é um ponto de mínimo no intervalo de ( 0 , oo ) .

Passo 5

Vamos agora identificar se f ( x ) possui pontos de inflexão

Em relação aos pontos de inflexão temos que

f^(' ') (x) = (2)/(3) x^((- 4)/(3)) = 0

=> x^((- 4)/(3)) = 0 => x = 0

Sendo assim temos um candidato a ponto de inflexão, vamos verificar se há mudança de sinal nas proximidades deles.

Perceba que , para valores dentro do intervalo ( - oo , 0 ) x = 0 , f ( x ) assume valores positivos(concavidade para cima). E para valores dentro do intervalo ( 0 , + oo ) x = 0 , f ( x ) irá assumir valores positivos (concavidade para cima). Logo, x = (sqrt(3))/(2) é um ponto de inflexão no intervalo de ( - oo , + oo ) .

Sendo assim, x = 0 é um ponto de inflexão para f ( x ) , ou seja, há uma mudança de concavidade

Passo 6

Para finalizar verificaremos se f ( x ) possui assíntotas verticais ou horizontais.

No que se refere as assíntotas horizontais temos que

underset(x -> oo)(lim) f (x) = underset(x -> oo)(lim) f (x) = x - 3 x^((2)/(3)) = oo

Logo, f (x) não possui assíntotas horizontais.

No que se refere as assíntotas verticais, não há nenhum ponto c no domínio de f (x) que faça com que

underset(x -> - c)(lim) f (x) = underset(x -> c)(l i m) f (x) = +- oo

Logo, f (x) não possui assíntotas verticais.

Resposta

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