Enunciado

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital.

lim x → 0 ⁡ x e x - cos ⁡ x

Passo 1

A primeira coisa que podemos tentar é substituir x = 0 para ver se isso já resolve o limite. Então vamos lá!

L = 0 e 0 - cos ⁡ 0

Fazendo as contas:

L = 0 0

Opa, chegamos numa indeterminação do tipo 0 / 0 . Então vamos aplicar a regra de L’Hospital

Passo 2

O limite que ele nos deu foi o seguinte:

lim x → 0 ⁡   x e x - cos ⁡ x

Pela regra de L’Hospital, podemos derivar em cima e embaixo que o limite continua o mesmo. Derivando,

L = lim x → 0 ⁡   1 e x - - s e n x

Assim,

L = lim x → 0 ⁡   1 e x + s e n x

Se fizermos x = 0   :

L = 1 e 0 + s e n 0

Como s e n 0 = 0 :

L = 1 1 + 0

Portanto,

L = 1

Resposta

lim x → 0 ⁡   x e x - cos ⁡ x = 1

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Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim x → 0 ⁡ e x - e - x -
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Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim x → - ∞ ⁡ x 2e x