Enunciado

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital.

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x 3

Passo 1

A primeira coisa que podemos tentar é substituir x = + ∞ para ver se isso já resolve o limite. Então vamos lá!

L = ln ⁡ ∞ ∞ 3

Assim,

L = ∞ ∞

Opa, chegamos numa indeterminação do tipo ∞ / ∞ . Então vamos aplicar a regra de L’Hospital

Passo 2

Pela regra de L’Hospital, podemos derivar em cima e embaixo que o limite continua o mesmo.

L = lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x 3

Isto é,

L = lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x 1 3

Derivando, L = lim x → + ∞ ⁡ 1 x   1 3 × x - 2 3

Agora vamos dar uma simplifica nisso!

L = lim x → + ∞ ⁡ 3   x 1 3

Pra finalizar, basta fazermos x = ∞ . Logo,

L = 3 ∞ 1 3

Portanto,

L = 0

Resposta

L = 0

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Ilustre a regra de L’Hospital fazendo o gráfico de f x / g ( x ) e f ' x / g ' ( x ) próximo de x = 0 , para ver que essas razões têm o mesmo limite quando x → 0 . Calcule também o valor exato do limi
Use gráficos para estimar o valor do limite. A seguir, use a regra de L’Hospital para encontrar o valor exato. lim x → 0 ⁡ 5 x - 4 x 3 x - 2 x
Demonstre que lim x → ∞ ⁡ e x x n = ∞ para todo n inteiro positivo. Isso mostra que a função exponencial tende mais rapidamente ao infinito que qualquer potência de x .
A primeira aparição impressa da regra de L’Hospital foi no livro Analyse des Infiniment Petits publicado pelo marquês de L’Hospital em 1696. Este foi o primeiro livro texto de cálculo a ser publicado
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